Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.PrzestrzeniemetryczneI
Zatemtrójmiankwadratowy
f(t)=(
Σ
k=1
n
a2
k)t2−2(
Σ
k=1
n
akbk)t+
Σ
k=1
n
b2
k
jestnieujemnyi∆≤0.Ponieważ
∆=4(
Σ
k=1
n
akbk)
2
−4(
Σ
k=1
n
a2
k)(
k=1
Σ
n
b2
k)j
więcznierówności∆≤0wynikanatychmiastnierówność(2).
45
Uwaga1.WnierównościSchwarzarównośćzachodziwtedyitylkowtedy,gdy
wektorya=(a1j...jan)ib=(b1j...jbn)sąrównoległe.Tylkowtymprzypadku
istniejet∈Rtakie,żewnierówności(3)mamyrówność.
Uwaga2.Wzbiorzeliczbzespolonychzachodzinastępującanierówność
Schwarza:
|
|
|
Σ
k=1
ak¯
bk
|
|
|
|
2
≤(
Σ
k=1
n
|ak|
2)(
Σ
k=1
n
|bk|
2).
|
n
Istotnie,zwcześniejudowodnionejnierównościSchwarzadlaliczbrzeczywistych
mamy
|
n
|
|
|
Σ
k=1
ak¯
bk
|
|
|
|
2
≤(
k=1
Σ
n
|ak¯
bk|)
2
=(
Σ
k=1
n
|ak||bk|)
2
≤(
Σ
k=1
n
|ak|
2)(
Σ
k=1
n
|bk|
2).
ZnierównościSchwarzawynika
Twierdzenie2.Jeżelia1ja2j...janib1jb2j...jbnsąliczbamirzeczywi-
stymi,to
(4)
r
|
n
r
|
n
r
|
n
|
¶
Σ
k=1
(ak+bk)2≤
|
¶
Σ
k=1
a2
k+
|
¶
Σ
k=1
b2
k.
Dowód.Podnoszącobiestronynierówności(4)dokwadratuiredukującte
samewyrazy,otrzymujemynierówność
n
r
|
n
r
|
n
2
k=1
Σ
akbk≤2
|
¶
Σ
k=1
a2
k
|
¶
Σ
k=1
b2
kj
którawynikanatychmiastznierównościSchwarza.
Możemyterazsprawdzićwarunek(c)zwanywarunkiemtrójkąta.Jeżelix=
(x1j...jxn),y=(y1j...jyn)iz=(z1j...jzn),topodstawiającak=yk−xki
bk=zk−ykdonierówności(4),otrzymujemy
ρ1(xjz)≤ρ1(xjy)+ρ1(yjz).
