Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
I.Wstępdomatematyki
odwrotnydoaoznaczamyprzeza11lub
1
a
.Jeżelia∈Kib∈Korazb/=0,to
ilorazemliczbaibnazywamyliczbęa·b11.
Zbioryliczbwymiernychiliczbrzeczywistychzdziałaniamidodawaniaimno-
żeniasąciałami,azbiórliczbcałkowitychniejestciałem(niespełniawarunku
(C8)).
1.3.3.Liczbywymierneirzeczywiste.Wzbiorzeliczbwymiernych
iwzbiorzeliczbrzeczywistychokreślonajestrelacjamniejszości<mającanastę-
pującewłasności:
(M1)
zachodzidokładniejedenzwarunkówa<b,a=b,b<a,
(M2)
(a<b∧b<c)⇒a<c,
(M3)
a<b⇒a+c<b+c,
(M4)
(a<b∧0<c)⇒a·c<b·c.
Ciałowrazzrelacjąmniejszościspełniającąwarunki(M1)–(M4)nazywamy
ciałemuporządkowanym.Zamiastpisaća<bmożemypisaćb>a.Jeżelia<b∨
a=b,topiszemya≤b.Gdya≤b,możemypisaćb≥a.
Zwarunków(C1)–(C9)i(M1)–(M4)możnauzyskaćinneprostewłasnościciał
liczbowych,np.
(2)
(3)
(4)
a>0⇒−a<0j
a/=0⇒a2>0j
a>0⇒a11>0j
(5)
a<b⇒a<
a+b
2
<b.
Zbiórliczbwymiernychizbiórliczbrzeczywistychzdodawaniem,mnożeniem
irelacjąmniejszościsąciałamiuporządkowanymi.
Pełnyopisliczbrzeczywistychmożnauzyskać,dodającdoaksjomatów(C1)–
(C9)i(M1)–(M4)aksjomatciągłości.Sformułowanieaksjomatuciągłościpoprze-
dzimypomocniczymidefinicjami.
PodzbiórAzbioruliczbrzeczywistychjestograniczonyzdołu,gdywszystkie
liczbynależącedoniegosąniemniejszeodpewnejustalonejliczby,awięczbiór
Ajestograniczonyzdołu,gdy
m∈R
V
x∈A
^
x≥m.
ZbiórAjestograniczonyzgóry,gdywszystkieliczbynależącedoniegosąnie
większeodpewnejustalonejliczby,comożnazapisaćsymbolicznie
(6)
M∈R
V
x∈A
^
x≤M.
JeżelizbiórAjestograniczonyzgóryizdołu,tomówimy,żejestograniczony.
(7)
