Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.1.PrzestrzeniemetryczneI
51
Niech(xn)będziedowolnymciągiem,a(pn)rosnącymciągiemliczbnatu-
ralnych,tzn.p1<p2<p3<....Wtedyciąg(yn)taki,żeyn=xp
n,nazywamy
podciągiemciągu(xn).Zdefinicjigranicywynikanatychmiast
Twierdzenie6.Niech(xn)będzieciągiemwprzestrzenimetrycznej(Xjρ).
Jeżeli(xn)jestzbieżnydox∈X,todowolnypodciągciągu(xn)jestzbieżnydo
x.Jeżeliistniejądwapodciągiciągu(xn)zbieżnedoróżnychgranic,tociąg(xn)
jestrozbieżny.
Uwaga4.Niech(pn)będziedowolnymciągiemliczbnaturalnych,wktórym
każdaliczbanaturalnawystępujeconajwyżejskończeniewielerazy.Jeżeli(xn)
jestciągiemelementówprzestrzenimetrycznej(Xjρ)zbieżnymdox,tociąg(yn)
określonywzoremyn=xp
njestrównieżzbieżnydox.
Zadania
Zadanie1.Sprawdzić,żefunkcjeρ2iρ3określonewzorami(5)i(6)są
metrykamiwRn.
Zadanie2.Sprawdzić,żefunkcjaρzdefiniowanawprzykładzie4jestmetryką
wR.
Zadanie3.Zbadać,którazponiższychfunkcjijestmetrykąwR:
d1(xjy)=(x−y)
2j
d2(xjy)=|x
2−y2|j
d3(xjy)=d|x−y|jd4(xjy)=|2x−y|.
Zadanie4.Sprawdzić,żefunkcjaρ(xjy)=
1+|x−y|
|x−y|
jestmetrykąwR.Po-
kazać,żemetrykaρimetrykaeuklidesowasąrównoważne,aleniesąjednostajnie
równoważne.
Zadanie5.NiechXbędzieprzestrzeniąciągówograniczonychowyrazach
rzeczywistych.Pokazać,żejeżelix=(xn)iy=(yn),to
ρ1(xjy)=sup
n∈N
|xn−yn|j
ρ2(xjy)=sup
n∈N
21n|xn−yn|
sąmetrykamiwX.Sprawdzić,żeniesątometrykirównoważne.
Zadanie6.Udowodnićtwierdzenia4,5i6.
Zadanie7.Niech(Xjρ)będzieprzestrzeniąmetryczną.Sprawdzić,żejeżeli
n→∞
lim
xn=xilim
n→∞
yn=y,to
n→∞
lim
ρ(xnjyn)=ρ(xjy).
