Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Funkcjeirelacje
25
Funkcjęodwzorowującązbiór{1j2j...jn}wzbiórAnazywamyciągiem
n-wyrazowymioznaczamy(a1ja2j...jan).Wszczególnościparauporządkowana
występującawdefinicjiiloczynukartezjańskiegojestciągiemdwuwyrazowym.
ZbiórAnazywamyprzeliczalnym,jeżeliistniejeciąg(an)taki,że
A={an:n∈N}.
ZatemzbiórAjestprzeliczalny,jeżeliistniejefunkcjaf:N
−→A.Każdyzbiór
na
skończony(zawierającyskończeniewieleelementów)jestprzeliczalny.Zbioryliczb
naturalnychparzystych{2n:n∈N}inieparzystych{2n−1:n∈N}sąprzeli-
czalne.PodobniezbiórliczbcałkowitychZ={0j1j−1j2j−2j...}jestprzeliczalny.
IloczynkartezjańskiA×BzbiorówprzeliczalnychAiBjestzbioremprzeli-
czalnym.Korzystającztejwłasności,sprawdzimy,żezbiórliczbwymiernychjest
przeliczalny.ZbiórZ×Njestprzeliczalny,więcistniejefunkcjaf:N
−→Z×N.
na
Niechf(n)=(f1(n)jf2(n)).Wtedyfunkcjag(n)=
f1(n)
f2(n)odwzorowujeliczbyna-
turalnenaliczbywymierne(każdaliczbawymiernajestilorazemliczbycałkowitej
iliczbynaturalnej).Zatemistniejefunkcjag:N
−→Q,astądzbiórliczbwymier-
na
nychjestprzeliczalny.
ZbiórliczbrzeczywistychRniejestzbioremprzeliczalnym.
1.2.5.Działanianafunkcjach.Niechf:X→Yig:Y→Zbędądowol-
nymifunkcjami.Wtedyfunkcjęh:X→Zokreślonąwzorem
h(x)=g(f(x))
nazywamyzłożeniemfunkcjififunkcjigioznaczamyg◦f.Działanieskładania
funkcjijestłączne,tzn.
h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.
Jeżelif:X→Yjestodwzorowaniemwzajemniejednoznacznym,tofunkcję
g:Y→Xokreślonąwzorem
g(g)=x⇔f(x)=g
nazywamyodwrotnądofioznaczamyf11.Niechf:X→Ybędzieodwzorowa-
niemwzajemniejednoznacznym.Wtedy
f11◦f=idXj
f◦f11=idY.
Przykład5.NiechfbędzieprzekształceniempłaszczyznyR2określonym
wzorem
f(xjg)=(x+ajg+b)j
gdzieaibsąstałymi.Przekształceniefjestprzesunięciemowektor[ajb].Funkcją
