Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
48
II.Ciągiiszeregi
Jeżelimetrykaρ1jestsilniejsząniżρ2imetrykaρ2jestsilniejszaniżρ1,to
metrykiρ1iρ2nazywamyrównoważnymi.Wszczególności,jeżeliistniejąstałe
o>0i;>0takie,żedladowolnychpunktówx∈X,y∈Xmamy
(12)
;ρ1(xjy)≤ρ2(xjy)≤oρ1(xjy)j
tometrykiρ1iρ2sąrównoważne.Metrykispełniającewarunek(12)będziemy
nazywaćjednostajnierównoważnymi.
Przykład9.WprzestrzeniRnzdefiniowanewcześniejmetrykisąrówno-
ważne.Istotnie,korzystającznierówności
r
|
n
n
1≤k≤n
max
ak≤
|
¶
Σ
k=1
a2
k≤
Σ
k=1
ak≤nmax
1≤k≤n
ak
prawdziwychdlaliczbnieujemnychakiprzyjmującak=|xk−yk|,otrzymujemy
nierówności
ρ3(xjy)≤ρ1(xjy)≤ρ2(xjy)≤nρ3(xjy)j
zktórychwynikajednostajnarównoważnośćmetrykρ1,ρ2,ρ3.
Przykład10.WdowolnejprzestrzeniXmetrykadyskretnajestsilniejsza
oddowolnejinnejmetryki.Jeżeliprzyjmiemyδ=1/2,tozachodzi(11),gdyż
K1(xjδ)={x}.MetrykadyskretnawRnniejestrównoważnametryceeuklide-
sowej.
Przykład11.Niecho:R→Rbędziefunkcjąokreślonąwzorem
o(x)={xj
x+1j
x≤0,
x>0.
Wtedymetrykaρ1(xjy)=|o(x)−o(y)|jestsilniejszaodmetrykiρ2(xjy)=
|x−y|iniesątometrykirównoważne.Abysięotymprzekonać,wystarczy
sprawdzić,jakwyglądająkuleotwartewtychmetrykach.Jeżelix/=0iT≤|x|,
toK1(xjT)=K2(xjT)=(x−Tjx+T),jeżelizaśx=0,todlaT∈(0j1)mamy
K1(0jT)=(−Tj0]iK2(0jT)=(−TjT).Stądwynikanatychmiastwarunek(11).
Metrykaρ2niejestmocniejszaodmetrykiρ1,boniemaliczbyδ>0takiej,że
(−δjδ)⊂(−Tj0].
2.1.3.Zbieżność.Niech(Xjρ)będzieprzestrzeniąmetryczną,a(xn)do-
wolnymciągiemelementówzprzestrzeniX.Mówimy,żepunktx∈Xjestgra-
nicąciągu(xn),jeżelidlakażdegos>0istniejeliczbanaturalnanotaka,że
ρ(xnjx)<sdlan≥no.Korzystajączkwantyfikatorów,warunektenmożemy
zapisaćnastępująco:
(13)
ε>o
^
n0∈N
V
n≥n0
^
ρ(xnjx)<s
