Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Zbioryliczbowe
Zadania
31
Zadanie1.Niechn|xoznacza,żexjestpodzielneprzezn,np.3|6,3|−12.
Sprawdzić,żenastępującarelacjajestrelacjąrównoważności:
R⊂N×N;
xRg⇔3|(x−g).
Podaćklasyabstrakcjitejrelacji.
Zadanie2.Niechf:R→Rjg:R→Rih:R→Rbędąfunkcjamiokreślo-
nymiwzoramif(x)=x2,g(x)=sinxih(x)=3x.Wyznaczyćfunkcjeh◦g◦f,
g◦h◦f,h◦f◦g,g◦f◦h,f◦h◦gif◦g◦h.
Zadanie3.Podaćdziedzinyiprzeciwdziedzinyfunkcjif(x)=log(1+x)
ig(x)=√x+2.Sprawdzić,czywykonalnesązłożeniag◦forazf◦g.
Zadanie4.Podaćdziedzinę,przeciwdziedzinęinarysowaćwykresfunkcji
g=arctg(tgx),g=sin(arccosx).
Zadanie5.Wyznaczyćdziedzinyfunkcjig=Jx−1
x,g=arccos(1−
1
x).
Zadanie6.Znaleźćfunkcjeodwrotnedofunkcji
g=10x+1j
g=1+2sin
x−1
x+1
.
Zadanie7.Wyznaczyćfunkcjęfokreślonądla|x|≥2,spełniającąwarunek
f(t+
1
t)=t2+
t2
1
dlat/=0.
Zadanie8.Narysowaćwykresyfunkcji
g=1−3x13j
g=2|
|logx|
|j
g=1+arctg2x.
Zadanie9.Niechf(x)=π
2+2arcsinx.Wyznaczyćf([0j
1
2]),f11((0jπ
2)).
Zadanie10.Funkcjęu=f(xjgjz)nazywamyjednorodnąstopniak∈Z,je-
żeli
f(txjtgjtz)=t
kf(xjgjz)dladowolnegot∈R.
Udowodnić,żedlatakiejfunkcjifistniejefunkcjagtaka,że
f(xjgjz)=x
kg(
g
x
j
z
x).
Zadanie11.Wyznaczyćdziedzinyfunkcji
z=log(xg)j
z=d1−x2−g2j
z=arcsin
g−1
x
.
1.3.Zbioryliczbowe
1.3.1.Liczbynaturalne.Liczby1j2j3j...nazywamyliczbaminaturalnymi.
ZbiórliczbnaturalnychoznaczamyliterąN.Jednązpodstawowychwłasności
liczbnaturalnychjestzasadaindukcji.
