Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
I.Wstępdomatematyki
Twierdzenie3charakteryzujewłasnośćporządkuwzbiorzeliczbrzeczywis-
tych.Mianowiciewzbiorzeliczbrzeczywistychniemaluk,alboinaczejzbiór
liczbrzeczywistychjestuporządkowanywsposóbciągły.
Rozważaniadotycząceliczbwymiernychirzeczywistychzakończymyspraw-
dzeniem,żezbiórliczbwymiernychniespełniaaksjomatuciągłości.
Przykład2.Niech
A={x∈Q:x>0jx
2>2}.
ZbiórAjestograniczonyzdołuprzezzero.Pokażemy,żezbiórAniemakresu
dolnegowzbiorzeliczbwymiernych.Dowodzimyniewprost,zakładając,że
p=infA,p∈Q.Niech
(10)
Wtedy
(11)
q=p−
p2−2
p+2
=
2p+2
p+2
.
q2=2+
2(p2−2)
(p+2)2
.
Ponieważrównaniep2=2niemarozwiązańwzbiorzeliczbwymiernych,więc
p2>2lubp2<2.Jeżelip2>2,tozwarunku(10)otrzymujemyq<p.Zwarunku
(11)wynika,żeq2>2.ZatemwzbiorzeAistniejeliczbamniejszaodp,więcp
niejestkresemdolnymzbioruA.Jeżelip2<2,tozwarunku(10)otrzymujemy
q>p.Zwarunku(11)wynika,żeq2<2,więcqograniczazbiórAzdołu.Zatem
pniejestnajwiększąliczbąograniczającązbiórAzdołu.
1.3.4.Liczbyzespolone.Liczbamizespolonyminazywamyparyliczbrze-
czywistych,dlaktórychdziałaniadodawaniaimnożeniasąokreślonewzorami:
(12)
(13)
(x1jg1)+(x2jg2)=(x1+x2jg1+g2)j
(x1jg1)·(x2jg2)=(x1x2−g1g2jx1g2+x2g1).
Liczbęzespoloną(0j1)nazywamyjednostkąurojonąioznaczymysymbolem
i.Liczbęzespolonąpostaci(xj0)identyfikujemyzliczbąrzeczywistąx.Wtedy
i2=(0j1)·(0j1)=(−1j0)=−1.
Zamiastużywaćnotacji(xjg)będziemypisaćx+gi.Zapisliczbyzespolonejwpo-
stacix+giuwalnianasodpamiętaniawzorów(12)i(13),ponieważdziałania
dodawaniaimnożeniawykonujemytaksamojaknaliczbachrzeczywistych,pa-
miętając,żei2=−1.Istotnie,
(x1+g1i)+(x2+g2i)=(x1+x2)+(g1+g2)ij
(x1+g1i)·(x2+g2i)=x1x2+g1g2i
2+x1g2i+x2g1i
=(x1x2−g1g2)+(x1g2+x2g1)i.
