Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
I.Wstępdomatematyki
^
x
^
y
0(xjg)⇔^
y
^
x
0(xjg)j
V
x
V
y
0(xjg)⇔V
y
V
x
0(xjg)j
V
x
^
y
0(xjg)⇒^
y
V
x
0(xjg).
Wostatnimprzypadkuniemożnaimplikacjizastąpićrównoważnością;naprzy-
kładniech0(xjg)będziefunkcjązdaniowąpostacix<g,azbiórliczbcałkowitych
zakresemzmiennościxig.
Funkcjazdaniowa0(x1j...jxn)jestprawdziwawX1j...jXn,jeślidlakaż-
degoxi∈Xi(1≤i≤n)jestzdaniemprawdziwym.Wdowodachmatematycz-
nychważnąrolęodgrywająschematyzbudowanezfunkcjizdaniowych,funktorów
zdaniotwórczychikwantyfikatorówotejwłasności,żeprawdziwośćichwynikaze
sposobuichbudowy,anieztreścipozalogicznych.Schematytenazywamypra-
wamirachunkufunkcyjnego.
1.1.4.Działanianazbiorach.Jednymzpodstawowychpojęćmatematycz-
nychjestzbiór.Jesttopojęciepierwotneiniedefiniujemygo.Równieżpojęciami
pierwotnymisąelementzbioruinależeniedozbioru.Jeśliajestelementemzbioru
A,topiszemya∈A,czytamyzaś„anależydoA”.ZamiastŹa∈Apiszemy
a/∈Aiczytamy„anienależydoA”.Zbiorymożnadefiniowaćprzezwyliczenie
ichelementówbądźprzezpodaniewarunku,jakipowinnyspełniaćteelementy.
Naprzykład,jeśli0(x)jestfunkcjązdaniową,aXzakresemzmiennościzmiennej
x,toA={x∈X:0(x)}jestzbiorem.
PiszemyA⊂B(coczytamy„AzawartewB”lub„AjestpodzbioremB”),
jeślikażdyelementzbioruAjestteżelementemzbioruB.Takwięc
A⊂B⇔^
(x∈A⇒x∈B).
x
ZdowolnychzbiorówAiBmożnautworzyćnowezbioryA∪B,A∩B,A\B
zwaneodpowiedniosumą,iloczynemiróżnicązbiorów.Zbiorytedefiniujemy
wnastępującysposób
x∈A∪B⇔x∈A∨x∈Bj
x∈A∩B⇔x∈A∧x∈Bj
x∈A\B⇔x∈A∧x/∈B.
Używającsymboli∪,∩,\,możnadefiniowaćinneoperacjenazbiorach.Na
przykładzbiórA÷B=(A\B)∪(B\A)nazywamyróżnicąsymetrycznązbio-
rówAiB.JeżeliwszystkierozważanezbiorysąpodzbioramipewnegozbioruX,
tozbiórtennazywamyprzestrzenią.ZbiórpostaciX\Anazywamydopełnieniem
zbioruAioznaczamysymbolemA!.
