Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
I.Wstępdomatematyki
Zasadaindukcji.Zakładamy,żeAjestpodzbioremzbioruliczbnaturalnych
takim,że
(i)1∈A,
(ii)
jeżelin∈A,ton+1∈A.
WtedyA=N.
Zasadęindukcjimożnasformułowaćogólniej:
Twierdzenie1.NiechSbędziepewnympodzbioremliczbnaturalnych.Za-
kładamy,żeno∈Sorazjeżelin∈S,ton+1∈S.WtedydozbioruSnależą
wszystkieliczbynaturalnen≥no.
Zasadyindukcjiużywasięwdowodachtwierdzeńdotyczącychliczbnatural-
nych.Stosujemyjąnastępująco.Niech0(n)będziepewnąfunkcjązdaniową,n≥
no.Chcemypokazać,że0(n)jestzdaniemprawdziwymdladowolnegon≥no.
Najpierwsprawdzamy,że0(no)jestzdaniemprawdziwym.Następniezakładamy,
że0(n)jestzdaniemprawdziwymidowodzimy,że0(n+1)jestzdaniempraw-
dziwym.Namocyzasadyindukcji0(n)jestzdaniemprawdziwymdladowolnej
liczbynaturalnejn≥no.Wpowyższymrozumowaniuzastosowaliśmytwierdze-
nie1dlazbioruS={n:0(n)}.
Przykład1.NierównośćBernoulliego.Stosujączasadęindukcji,udowod-
nimynastępującetwierdzenie.
Twierdzenie2.Jeżelix>−1,x/=0in≥2,to
(1)
(1+x)
n>1+nx.
Nierówność(1)nazywamynierównościąBernoulliego.
Dowód.Dlan=2mamy(1+x)2=1+2x+x2>1+2xdlax/=0.Zakła-
damy,że(1+x)n>1+nxdlapewnegon≥2.Sprawdzamy,że(1+x)n+1>
1+(n+1)x.Ponieważ1+x>0,zzałożeniaindukcyjnegootrzymujemy
(1+x)
n+1=(1+x)n(1+x)>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2j
stąd(1+x)n+1>1+(n+1)x.NamocyzasadyindukcjinierównośćBernoul-
liegojestprawdziwadlakażdegon≥2.
Zindukcjikorzystamyrównieżwdefinicjachpojęćdotyczącychliczbnatural-
nych.Definicjaindukcyjna(rekurencyjna)składasięzdwóchczęści:zdefinicji
dlan=1izdefinicjidlan>1zapomocądefinicjidlan−1.
Naprzykładindukcyjnadefinicjapotęgiliczbyrzeczywistejxjestnastępująca:
(i)x1=x,
(ii)
xn=xn11xdlakażdegon>1.
1.3.2.Ciała.Przypomnimypodstawowewłasnościdziałańdodawaniaimno-
żeniawzbiorzeliczbwymiernychirzeczywistych.Zbiorytewrazzdziałaniami
