Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
42
I.Wstępdomatematyki
z5=cos
5π
3
+isin
5π
3
=
1
2
−i
√3
2
.
Liczbyzojz1j...jz5mająprostąinterpretacjęgeometryczną.Sąonewierzchoł-
kamisześciokątaforemnegowpisanegowkołoopromieniur=1iśrodkuzo=0.
Przykład6.Rozwiążemyrównanie
z2+(3i+1)z+(2i−2)=0.
Równanietomożemyzapisaćwpostaci
(32)
(z+
3i+1
2
)
2
=−
2
i
.
Niechu=−i
2.Wtedyu=1
2(cos
3π
2+isin3π
2).Namocywzoru(31)równanie
x2=umadwarozwiązania:
xo=
√2(cos
1
3π
4
+isin
3π
4)=
√2(−√2
1
2
+
√2
2
i)=−1
2
+
1
2
ij
x1=
√2(cos
1
7π
4
+isin
7π
4)=
√2(√2
1
2
−
√2
2
i)=1
2
−
1
2
i.
Równanie(32)madwapierwiastkizoiz1takie,że
zk+
3i+1
2
=xkj
k=0j1.
Pierwiastkitesąrównezo=−1−iorazz1=−2i.
Wdalszejczęściwykładubędziemykorzystaćzfunkcjiwykładniczejoar-
gumenciezespolonym.NiechebędzieliczbąEulera.Dokładnądefinicjęliczby
epodamywnastępnymrozdziale.Terazwystarczyinformacja,żeejestliczbą
rzeczywistąwiększąod1.Jeżeliz=x+gi,toprzyjmujemy
(33)
ez=ex(cosg+ising).
Zewzoru(27)wynikanatychmiast,żedladowolnychliczbzespolonychz1jz2
mamy
ez1+z2=ez1ez2.
Zadania
Zadanie1.Wykazać,żewzór2m>m2jestprawdziwydlawszystkichliczb
naturalnychm≥5.
Zadanie2.Sprawdzićwzór
12+22+...+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
.
