Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
I.Wstępdomatematyki
1.2.3.Funkcja.NiechXjYbędądowolnymizbiorami,af⊂X×Ybędzie
relacjąonastępującejwłasności:
(1)
^
^
^
[(xfg1∧xfg2)⇒g1=g2].
x∈X
y1∈Y
y2∈Y
Wtedyrelacjęfnazywamyfunkcją(odwzorowaniem,przekształceniem).Ponieważ
ustalonemuelementowix∈Xodpowiadaconajwyżejjedenelementgwrelacji
f,więcwprzypadkufunkcjipiszemyg=f(x)zamiastxfg.
Dziedzinafunkcjifijejprzeciwdziedzinasąodpowiedniodziedzinamiiprze-
ciwdziedzinamirelacjif,tzn.
Df={x∈X:V
g=f(x)}jVf={g∈Y:V
g=f(x)}.
y∈Y
x∈X
Wykresemfunkcjifnazywamyzbiór{(xjf(x)):x∈Df}.Zatemwykresfunkcji
jestzbioremidentycznymzrelacjąodpowiadającątejfunkcji.
JeżeliDf=X,tomówimy,żefodwzorowujezbiórXwYipiszemyf:X→
Y.ZbiórwszystkichfunkcjiodwzorowującychXwYoznaczamysymbolemYX.
Mówimy,żefunkcjaf:X→YodwzorowujezbiórXnaY(jestsurjekcją),
jeżeliVf=Y.JeżelifodwzorowujeXnaY,topiszemyf:X
−→Y.
na
Jeżelifunkcjaf:X→Ymanastępującąwłasność:
^
^
[x1/=x2⇒f(x1)/=f(x2)]j
x1∈X
x2∈X
tofunkcjęfnazywamyfunkcjąróżnowartościową(injekcją)ipiszemyf:X
−→
111
Y.OdwzorowanieróżnowartościowefzbioruXnazbiórYnazywamyodwzoro-
waniemwzajemniejednoznacznymXnaY(bijekcją)ipiszemyf:X
−→
111
na
Y.
NiechfbędzieodwzorowaniemzbioruXwzbiórY,aAniepustympod-
zbioremX.Odwzorowanieg:A→Yokreślonewzoremg(x)=f(x)dlakażdego
x∈AnazywamyrestrykcjąlubobcięciemfunkcjifdozbioruAioznaczamyf|A
lubkrótkofA.
Jeżelifunkcjef:X→Yig:X→Yprzyjmujątesamewartościnazbiorze
A,tj.f(x)=g(x)dlax∈A,topiszemyf=gnaA.Jeślif(x)=g(x)dlax∈X,
topiszemyf=g.Natomiastjeżeliajestpewnąstałąif(x)=adlax∈X,to
będziemypisaćf≡a.
Funkcjęf:X→Xokreślonąwzoremf(x)=xnazywamyidentycznościąna
zbiorzeXioznaczamyidX.
1.2.4.Ciąg.FunkcjęodwzorowującązbiórliczbnaturalnychwpewienzbiórA
nazywamyciągiemowartościachwzbiorzeA.Ponieważkażdejliczbienaturalnej
nodpowiadajedenelementanzezbioruA,więcciągjestokreślonyjednoznacznie
przezpodanieelementówa1ja2j....Ciągimożemywięcoznaczaća1ja2j...lub
(an)n∈Newentualnie(an).Elementya1ja2j...nazywamywyrazamiciągu.
