Wykłady z analizy matematycznej

Ryszard Rudnicki

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

83-01-13554-9

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2001

Liczba stron:

538

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Rudnicki, Ryszard. Wykłady z analizy matematycznej. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, 538 s. ISBN 83-01-13554-9

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Rudnicki, R.

T1 Wykłady z analizy matematycznej

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2001

SN 83-01-13554-9

Bibliografia BibTex:

@Book{ 143, author = "Rudnicki, Ryszard", editor = "", title = "Wykłady z analizy matematycznej", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2001", address = "Warszawa", isbn = "83-01-13554-9" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Rudnicki, Ryszard

ED -

TI - Wykłady z analizy matematycznej

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2001

SN - 83-01-13554-9

ER -

Netografia (standard APA):

Rudnicki, Ryszard. Wykłady z analizy matematycznej [baza danych online] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001 [dostęp: 04 07 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/wyklady-z-analizy-matematycznej-ryszard-rudnicki-143.

logika, ciągi liczbowe, szeregi liczbowe, ciągi funkcyjne, szeregi funkcyjne, ciągłość, różniczkowalność, całki, funkcje zespolone, relacje, rachunek całkowy, równania różniczkowe, rachunek wariacyjny, funkcje

Nowoczesny podręcznik analizy matematycznej odpowiadający programowi wykładu trzysemestralnego. Praca napisana poglądowo, precyzyjnie i nowocześnie. Przedstawia szeroki krąg zagadnień analizy matematycznej wraz z bardzo cennymi przykładami i zasto...

Więcej

ISBN/ISSN:

83-01-13554-9

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2001

Liczba stron:

538

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Przedmowa6
Rozdział I. Wstęp do matematyki14
1.1 Elementy logiki i teorii zbiorów14
1.1.1. Rachunek zdań14
1.1.2. Reguły wnioskowania17
1.1.3. Funkcja zdaniowa i kwantyfikatory18
1.1.4. Działania na zbiorach19
Zadania21
1.2. Funkcje i relacje22
1.2.1. Relacje22
1.2.2. Relacje równoważności23
1.2.3. Funkcja25
1.2.4. Ciąg25
1.2.5. Działania na funkcjach26
1.2.6. Obrazy i przeciw obrazy30
1.3. Zbiory liczbowe32
1.3.1. Liczby naturalne32
Zadania32
1.3.2. Ciała33
1.3.3. Liczby wymierne i rzeczywiste35
1.3.4. Liczby zespolone37
1.3.5. Postać trygonometryczna liczb zespolonych39
Zadania43
Rozdział II. Ciągi i szeregi45
2.1. Przestrzenie metryczne I45
2.1.1. Przykłady przestrzeni metrycznych45
2.1.2. Kule w przestrzeniach metrycznych47
2.1.3. Zbieżność49
Zadania52
2.2. Ciągi53
2.2.1. Własności ciągów liczbowych53
2.2.2. Ciągi liczb rzeczywstych54
2.2.3. Metody obliczania granic56
2.2.4. Ciągi rozbieżne do nieskończoności61
2.2.5. Ciągi ograniczone64
Zadania69
2.3. Szeregi70
2.3.1. Szeregi liczbowe70
2.3.2. Kryteria zbieżności szeregów73
2.3.3. Szeregi potęgowe78
2.3.4. Szeregi funkcyjne80
2.3.5. Uzupełnienia83
Zadania87
Rozdział III. Ciągłość88
3.1. Przestrzenie metryczne II88
3.1.1. Zbiory otwarte i domknięte88
3.1.2. Zbiory zwarte92
3.1.3. Przestrzeń zupelna93
3.1.4. Zasada Banacha95
Zadania101
3.2. Granica ciągłości funkcji102
3.2.1. Definicja ciągowa (Hinego)102
3.2.2. Definicja otoczeniowa (Cauchy'ego)106
3.2.3. Działania na funkcjach ciągłych109
3.2.4. Przykłady111
Zadania118
3.3. Własności funkcji ciągłych119
3.3.1. Własności Darboux119
3.3.2. Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych122
3.3.3. Przestrzeń funkcji ciagłych124
Zadania128
Rozdział IV. Różniczkowalność129
4.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej129
4.1.1. Definicja pochodnej129
4.1.2. Podstawowe twierdzenia132
4.1.3. Pochodna funkcji elementarnych134
4.1.4 Przykłady136
4.1.5. Pochodna wyższych rzędów140
Zadania143
4.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania144
4.2.1. Twierdzenie o wartości średniej144
4.2.2. Wzór Taylora147
4.2.3. Badanie przebiegu zmienności funkcji153
4.2.4. Reguła de L'Hospitala160
4.2.5. Przybliżone rozwiązanie równań164
Zadania167
4.3. Pochodna funkcji wielu zmiennych168
4.3.1. Elementy algebry liniowej168
4.3.2. Pochodna cząstkowa173
4.3.3. Pochodna Frecheta174
4.3.4. Pochodna kierunkowa177
4.3.5. Zastosowanie różniczki i pochodnej181
4.3.6. Pochodna funkcji złożonej184
4.3.7. Pchodna cząstkowa wyższych rzędów186
4.3.8. Pochodna w przestrzeniach unormowanych188
4.3.9. Operatory teori pola189
Zadania190
4.4. Ekstremum funkcji193
4.4.1. Wzór Taylora193
4.4.2. Ekstrema lokalne195
4.4.3. Ekstrema globalne201
Zadania202
4.5. Twierdzenie o funkcji odwrotnej i jego zastosowanie203
4.5.1. Twierdzenie o fnkcji odwrotnej203
4.5.2. Twierdzenie o funkcji uwikłanej209
4.5.3. Powierzchnie214
4.5.4. Powierzchnie domknięte i kawałkami gładkie221
4.4.5. Ekstrema warunkowe223
Zadania230
Rozdział V. Całki232
5.1. Całka nieoznaczona232
5.1.1. Definicja całki nieoznaczonej232
5.1.2. Podstawa całki233
5.1.3. Całkowane przez część234
5.1.4. Całkowane przez podstawienie236
5.1.5. Całkowanie fukcji wymiernych238
5.1.6. Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych243
Zadania248
5.2. Całka oznaczona249
5.2.1. Definicja całki oznaczonej249
5.2.2. Całkowalność funkcji252
5.2.3. Własności całki oznaczonej255
5.2.4. Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną257
5.2.5. Zastosowanie geometryczne całki258
5.2.6. Całki niewłaściwe i ich zastosowanie263
5.2.7. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki265
5.2.8. Różniczkowanie całki zależnej od parametru268
5.2.9. Uogólnienie: całka Reimanna-Stieltjesa i całka z funkcji o wartościach w Rn270
5.2.10. Funkcje specjalne271
Zadania271
5.3. Całki wielokrotne273
5.3.1. Definicja całki wielokrotnej273
5.3.2. Całka iterowana i wzór Fubiniego275
5.3.3. Całka wielokrotna po dowolnym zbiorze279
5.3.4. Zastosowanie całek wielokrotnych284
5.3.5. Twierdzenie o zmenie zmiennych288
Zadania295
5.4. Całki krzywoliniowe297
5.4.1. Orientacje297
5.4.2. Całka krzywoliniwa zorientowana304
5.4.3. Całka krzywoliniwa niezorientowana309
5.4.4. Związek całek zorientowanych i niezorientowanych310
5.4.5. Zastosowanie całek krzywoliniowych311
5.4.6. Wzór Greena i polo potencjalne312
Zadania317
5.5. Całki powierzchniowe318
5.5.1. Całka powierzchniowa niezorientowana318
5.5.2. Całka powierzchniowa zorientowana321
5.5.3. Twerdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego323
5.5.4. Twierdzenie Stokesa325
5.5.5. Równanie Poissona328
Zadania332
Rozdział VI. Funkcje zespolone334
6.1. Pochodna i całka334
6.1.1. Pochodna zespolona334
6.1.2. Równanie Cauchy'ego-Riemanna337
6.1.3. Całka zespolona339
6.1.4. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego341
Zadania345
6.2. Własności funkcji analitycznych346
6.2.1. Własności funkcji Cauchy'ego346
6.2.2. Rozwijalność funkcji analitycznej w szereg potęgowy347
6.2.3. Nierówność Cauchy'ego i zasada maksimum350
6.2.4. Szereg Laurenta i punkty osobliwe351
Zadania355
6.3. Zastosowanie funkcji analitcznych356
6.3.1. Rachunek residuów356
6.3.2. Funkcje harmoniczne360
Zadania366
Rozdział VII. Równania różniczkowe367
7.1. Metody rozwišzywania równań różniczkowych367
7.1.1. Uwagi ogólne367
7.1.2. Modele przyrodnicze prowadzące do równań różniczkowych zwyczajnych367
7.1.3. Równania o zmiennych rozdzielonych369
7.1.4. Równania zupełne374
7.1.5. Równanie liniowe i równanie Bernoulliego377
7.1.6. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań pierwszego rzędu381
7.1.7. Uwagi o efektywnym rozwiązywaniu równań różniczkowych384
Zadania384
7.2. Podstawowe twierdzenia385
7.2.1. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności385
7.2.2. Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych392
7.2.3. Cišgła zależność od warunków początkowych i pararmetru394
7.2.4. Metoda małego parametru397
7.2.5. Zastosowanie szeregów potęgowych w teorii równań różniczkowych401
Zadania403
7.3. Równania i układ równań liniowych404
7.3.1. Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności404
7.3.2. Układ liniowy jednorodny405
7.3.3. Rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego407
7.3.4. Układ jednorodny o stałym wspólczynnikach408
7.3.5. Układ niejednorodny ze stałą macierzą A417
7.3.6. Równanie liniowe419
7.3.7. Równanie liniowe o stałych wspólczynnikach420
7.3.8. Analiza równania drgań427
Zadania431
7.4. Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych432
7.4.1. Równanie autonomiczne432
7.4.2. Układ zachowawczy435
7.4.3. Stabilność437
7.4.4. Twierdzenie Liouville'a440
Zadania443
7.5. Elementarne wiadomości o równaniach cząstkowych444
7.5.1. Równania cząstkowe pierwszego rzędu444
7.5.2. Równania cząstkowe drugiego rzędu448
Zadania452
Rozdział VIII. Teoria całki Lebesgue'a454
8.1. Przestrzeń z miarą455
8.1.1. Zbiory mierzalne455
8.1.2. Zbiory borelowskie456
8.1.3. Miara458
8.1.4. Miara Lebesgue'a459
8.1.5. Miara upełna459
8.1.6. Własności miary461
8.2. Funkcje mierzalne463
8.2.1. Definicja funkcji mierzalnej463
Zadania463
8.2.2. Własności funkcji mierzalnych464
8.2.3. Funkcje proste466
8.3. Całki Lebesgue'a468
8.3.1. Definicja całki Lebesgue'a468
Zadania468
8.3.2. Własności całki Lebesgue'a470
8.3.3. Twierdzenie o przejściu do granicy pod znakiem całki473
8.3.4. Całkowanie funkcji zespolonych479
8.3.5. Całka Lebesgue'a w R481
Zadania482
8.4. Szeregi Fouriera483
8.4.1. Przestrzeń L2483
8.4.2. Przestrzeń unitarna i przestrzeń Hilberta485
8.4.3. Układ ortonormalny487
8.4.4. Szereg Fouriera491
8.4.5. Równanie Laplace'a w kole493
Zadania496
Rozdział IX. Dodatek497
9.1. Transformacja Fouriera497
9.1.1. Twierdzenie Fubiniego497
9.1.2. Splot498
9.1.3. transformacja Fouriera499
9.1.4. Odwrotna tranformacja Fouriera501
9.1.5. Równanie przewodnictwa cieplnego503
Zadania504
9.2. Transformacja Laplace'a505
9.2.1. Definicja transformaty Laplace'a505
9.2.2. Własności transformaty Laplace'a507
9.2.3. Zastosowania transformacji Laplace'a do rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych508
9.3. Elementy rachunku wariacyjnego510
9.3.1. Ekstrema funkcjonałów510
Zadania510
9.3.2. Ekstrema funkcjonału działania513
9.3.3. Przykłady516
9.3.4. Związek rachunku wariacyjnego z mechaniką Newtona523
Zadania524
Literatura uzupełniająca525
Skorowidz527

II.Ciągiiszeregi

Metrykaρ1określonawzorem(1)nosinazwęmetrykieuklidesowej,aprze-

strzeń(Rnjρ1)nazywamyprzestrzeniąeuklidesową.WprzestrzeniRnmożna

wprowadzićinnemetryki.Naprzykład

ρ2(xjy)=

k=1

|xk−yk|j

(5)

(6)

sąmetrykamiwRn.

ρ3(xjy)=max

1≤k≤n

|xk−yk|

Przykład2.NiechXbędziedowolnymzbiorem.Wtedyfunkcja

ρ(xjy)={

gdyx=y,

gdyx/=y,

jestmetryką.Takokreślonametrykanazywasięmetrykądyskretną,aprzestrzeń

(Xjρ)przestrzeniądyskretną.

Przykład3.Niech(Xjρ1)i(Yjρ2)będąprzestrzeniamimetrycznymi.Wtedy

wprzestrzeniX×Ymożnawprowadzićnastępującemetryki:

(7)

(8)

(9)

d1((x1jy1)j(x2jy2))=Jρ2

1(x1jx2)+ρ2

2(y1jy2)j

d2((x1jy1)j(x2jy2))=ρ1(x1jx2)+ρ2(y1jy2)j

d3((x1jy1)j(x2jy2))=max{ρ1(x1jx2)jρ2(y1jy2)}.

Każdązmetrykd1jd2jd3nazywamymetrykąproduktową,aprzestrzeń

(X×Yjdk)przestrzeniąproduktową.Analogiczniemożnaotrzymaćmetrykępro-

duktowąwiloczyniekartezjańskimnprzestrzeni.

Przykład4.Niecho:R→Rbędziefunkcjąrosnącą,tzn.,jeżelix1<x2,to

o(x1)<o(x2).Wtedy

(10)

jestmetrykąwR.

ρ(xjy)=|o(x)−o(y)|

Przykład5.Niech(Xjρ)będzieprzestrzeniąmetryczną,aAniepustym

podzbioremX.WtedyfunkcjaρobciętadozbioruA×Ajestmetrykąnazbiorze

A.MetrykęρnaprzestrzeniAnazywamymetrykąindukowaną.

2.1.2.Kulewprzestrzeniachmetrycznych.Niech(Xjρ)będzieprze-

strzeniąmetryczną.Dladowolnegopunktuxo∈XiliczbyrzeczywistejT>0

kulądomkniętąośrodkuxoipromieniuTnazywamyzbiór

K(xojT)={x∈X:ρ(xojx)≤T}j

akuląotwartąośrodkuxoipromieniuTnazywamyzbiór

K(xojT)={x∈X:ρ(xojx)<T}.

Brak wyników

Wykłady z analizy matematycznej

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra