Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
I.Wstępdomatematyki
Przykład10.NiechNoznaczazbiórliczbnaturalnych.Sprawdzimy,że
n∈N
U
[2+
n
1
j3+
n]=(2j4].
1
NiechAn=[2+
nj3+1
1
n].Pokażemy,że
x∈(2j4]⇔V
n∈N
x∈[2+
n
1
j3+
n].
1
Jeżelidlapewnegonmamyx∈[2+1
nj3+1
n],to2+1
n≤x≤3+1
n.Ponieważ
2<2+1
ni3+1
n≤4dladowolnegonnaturalnego,więc2<x≤4.Zatemx∈
(2j4].Sprawdzamyimplikacjęodwrotną.Niechx∈(2j4].Wtedyx∈(2j3)lub
x∈[3j4].Jeżelix∈(2j3),tox>2.Wtedyistniejeliczbanaturalnantaka,że
x≥2+1
n.Istotnie,przekształcającostatniąnierówność,stwierdzamy,żeliczba
naturalnan≥1
x12spełniawarunekx≥2+1
n.Stądiznierównościx<3otrzy-
mujemyx∈[2+1
nj3+1
n].Jeżelizaśx∈[3j4],tox∈A1.Zatemdladowolnego
x∈(2j4]możemyznaleźćtakien∈N,żex∈An.Czylix∈(2j4]⇔V
x∈An.
n∈N
DlasumiiloczynówuogólnionychzachodząnastępująceprawadeMorgana:
(U
t∈T
At)
!
=Π
t∈T
A!
tj
(Π
t∈T
At)
!
=U
t∈T
A!
t.
Sprawdzimypierwszeznich:
x∈(U
At)
!
⇔Ź(x∈U
At)⇔Ź(V
x∈At)
t∈T
t∈T
t∈T
⇔^
Ź(x∈At)⇔^
x/∈At⇔x∈Π
A!
t.
t∈T
t∈T
t∈T
Zadania
Zadanie1.Sprawdzić,czynastępującezdaniasątautologiami:
(a)
(p∧q)⇒p,
(b)
[p∨(q∨r)]⇔[(p∨q)∨r],
(c)
[(p⇒q)∧Źq]⇒Źp,
(d)p⇒[(Źp)∨q].
Zadanie2.Określićkoniunkcjęzapomocąnegacjiialternatywy.
Zadanie3.Sprawdzić,żesiecilogicznezrysunków5i6wksiążceK.Kura-
towskiegoWstępdoteoriimnogościitopologiidziałająidentycznie.
