Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
RozdziałII
Ciągiiszeregi
2.1.PrzestrzeniemetryczneI
2.1.1.Przykładyprzestrzenimetrycznych.NiepustyzbiórXzodwzo-
rowaniemρ:X×X→[0j∞)spełniającymwarunki
(a)
ρ(xjy)=0⇔x=y,
(b)ρ(xjy)=ρ(yjx)
dlaxjy∈X,
(c)
ρ(xjz)≤ρ(xjy)+ρ(yjz)
dlaxjyjz∈X
nazywamyprzestrzeniąmetryczną.Elementyprzestrzenimetrycznejnazywamy
punktami,odwzorowanieρmetrykąwX,awartośćodwzorowaniaρ(xjy)odleg-
łościąpunktówxiywmetryceρ.
Przykład1.WprzestrzeniRnfunkcja
(1)
ρ1(xjy)=
r
|
|
¶
Σ
k=1
n
(xk−yk)2
jestmetryką.Warunki(a)i(b)sąoczywiste.Wcelusprawdzeniawarunku(c)
udowodnimynastępującetwierdzenie.
Twierdzenie1(nierównośćSchwarza).
Jeżelia1ja2j...jan,b1jb2j
...jbnsąliczbamirzeczywistymi,to
(2)
(
Σ
k=1
n
akbk)
2
≤(
Σ
k=1
n
a2
k)(
k=1
Σ
n
b2
k).
Dowód.Dladowolnegot∈Rzachodzinierówność
(3)
Σ
k=1
n
(akt−bk)
2≥0.
