Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
I.Wstępdomatematyki
jestdziedzinąrelacji̺.Elementg∈Ynależydoprzeciwdziedzinyrelacji̺⊂
X×Y,jeżeliistniejex∈Xtakie,żex̺g.Takwięcprzeciwdziedzinąrelacji̺
jestzbiór
V(̺)={g∈Y:V
x∈X
x̺g}.
Przykład1.NiechX={1j2j3j4},Y={{2j3}j{3j4}j{4j5}j{5j6}},a̺jest
relacjąprzynależnościdozbioru,toznaczyx̺A,jeżelix∈A.Wtymprzypadku
D(̺)={2j3j4},aV(̺)={{2j3}j{3j4}j{4j5}}.Następującydiagramprzedsta-
wiaopisanąwyżejrelację.
1
2
3
4
¨
¨
¨¨
¨¨
¨¨¨
¨¨
¨
¨
B
(
¨
B
(
¨
B
{2,3}
{3,4}
{4,5}
{5,6}
Rys.1
Pojęcierelacjijestbardzoczęstoużywanewróżnychdziałachmatematyki.
Dobrzeznanymiprzykładamirelacjisą:relacjarówności=,relacjamniejszości
<wzbiorachliczbowych,relacjerównoległości"iprostopadłości⊥prostych
irelacjaprzystawaniafigurgeometrycznych.
1.2.2.Relacjarównoważności.Relację̺⊂X×Xnazywamyrelacjąrów-
noważności,jeżelijest
(a)zwrotna:A
x∈X
x̺x,
(b)symetryczna:A
A
(x̺g⇒g̺x),
x∈X
y∈X
(c)przechodnia:A
A
A
(x̺g∧g̺z⇒x̺z).
x∈X
y∈X
z∈X
Przykładamirelacjirównoważnościsąrelacjarówności,równoległościprostych
iprzystawaniafigurgeometrycznych.
Niech̺⊂X×Xbędzierelacjąrównoważności,axdowolnymelementem
zbioruX.Zbiór
[x]={g∈X:x̺g}
nazywamyklasąabstrakcjielementuxrelacjirównoważności̺.
Zdefinicjiklasyabstrakcjiwynikająnastępującejejwłasności:
(a)
[x]/=∅dlakażdegox∈X,
