Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
52
II.Ciągiiszeregi
2.2.Ciągi
2.2.1.Własnościciągówliczbowych.Niech(xn)i(yn)będądanymicią-
gamiowyrazachrzeczywistychlubzespolonych.Ciąg(xn+yn)nazywamysumą
ciągów(xn)i(yn).Analogiczniedefiniujemyróżnicęiiloczynciągów.Wdefinicji
ilorazuciągów(xn)i(yn)zakładamydodatkowo,żeyn/=0dlakażdegon∈N.
Twierdzenie1.Jeżelilim
n→∞
xn=xilim
n→∞
yn=y,to
(1)
(2)
(3)
(4)
n→∞
lim
(xn+yn)=x+y,
n→∞
lim
(xn−yn)=x−y,
n→∞
lim
(xnyn)=xy,
n→∞
lim
yn
xn
=
x
y
j
jeżeliyn/=0dlan=1j2j...
orazy/=0.
Prostedowodywzorów(1)i(2)pozostawiamyczytelnikowi.Sprawdzimy
wzory(3)i(4).
Dowódwzoru(3).Niechs>0będzieustalonąliczbąrzeczywistą.Ciąg
(yn)jestzbieżny,więcjestograniczony.NiechMbędzieliczbądodatniątaką,że
|yn|≤Mdlan∈N.Przyjmujemyδ=
|x|+M
s
.Ponieważδ>0,więczgodniez
definicjągranicyistniejeliczbanaturalnanotaka,że
(5)
Stądotrzymujemy
^
(|xn−x|<δ∧|yn−y|<δ).
n≥n0
|xnyn−xy|=|xnyn−xyn+xyn−xy|≤|xnyn−xyn|+|xyn−xy|
=|xn−x||yn|+|x||yn−y|≤M|xn−x|+|x||yn−y|
<Mδ+|x|δ=s
dlan≥no.
Zatemdladowolnejliczbys>0istniejenotakie,żeA
|xnyn−xy|<sjwięc
n≥n0
xyjestgranicąciągu(xnyn).
Dowódwzoru(4).Ponieważgranicąciągu(yn)jestyorazy/=0,więc
istniejeliczbanaturalnan1taka,że
(6)
|y−yn|<|y|/2dlan≥n1.
Z(6)inierównościtrójkątaotrzymujemy
(7)
|yn|>|y|/2.
