Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
50
II.Ciągiiszeregi
wmetryceρ1,tociąg(xn)jestzbieżnydoxwmetryceρ2.Wtedymetrykaρ1
jestsilniejszaodmetrykiρ2.Wszczególności,jeżeliciągiwobumetrykachsą
albojednocześniezbieżnedotegosamegopunktu,albojednocześnierozbieżne,
tometrykisąrównoważne.
Pokażemy,jakwyglądazbieżnośćwkonkretnychprzestrzeniachmetrycznych.
Przykład12.Wzbiorzeliczbrzeczywistychzmetrykąρ(xjy)=|x−y|ciąg
(xn)magranicęxwtedyitylkowtedy,gdy
^
V
^
x−s<xn<x+s.
ε>o
n0∈N
n≥n0
Przykład13.WprzestrzeniRkmetrykiρ1jρ2iρ3sąrównoważne.Zatem
wystarczyograniczyćsiędometrykiρ3określonejwzorem
ρ3(xjy)=max
1≤i≤k
|x
i−yi|j
gdziex=(x1j...jxk),y=(y1j...jyk).Ciąg(xn)oelementachxn=(x1
nj...jxk
n)
jestzbieżnydox=(x1j...jxk)wtedyitylkowtedy,gdydlakażdegoi=1j...jk
ciąg(xi
n)jestzbieżnydoxi.Istotnie,jeżeli(xn)jestzbieżnydox,todladowolnego
s>0istniejeno∈Ntakie,żedlan≥nomamy
|x
i
n−xi|≤ρ3(xnjx)<s.
Zatemciąg(xi
n)jestzbieżnydoxi.Jeżelikażdyzciągów(xi
n)jestzbieżnydoxi,
todladowolnegos>0istniejąliczbyn1jn2j...jnktakie,że
|x
i
n−xi|<s
dlan≥ni.
Niechno=max{n1j...jnk}.Wtedy
ρ3(xnjx)=max
1≤i≤k
|x
i
n−xi|<s
dlan≥no.
Przykład14.WzbiorzeliczbzespolonychCmamymetrykę
ρ(x1+iy1jx2+iy2)=d(x1−x2)2+(y1−y2)2.
PonieważzbiórliczbzespolonychCzmetrykąρmożemyutożsamićzprzestrzenią
R2zmetrykąeuklidesową,więcciągliczbzespolonych(zn)jestzbieżnydoliczby
zwtedyitylkowtedy,gdyczęścirzeczywisteiczęściurojonewyrazówciągu(zn)
sązbieżneodpowiedniodoczęścirzeczywistejiczęściurojonejliczbyz.
Przykład15.Jeżeli(Xjρ)jestprzestrzeniądyskretną,tociąg(xn)jest
zbieżnydoxwtedyitylkowtedy,gdyxn=xdlaprawiewszystkichxn.
Twierdzenie5.
Ciąg(xn)elementówprzestrzenimetrycznej(Xjρ)jest
zbieżnydoxwtedyitylkowtedy,gdyciągliczbrzeczywistych(ρ(xnjx))jestzbieżny
dozera.
