Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Elementylogikiiteoriizbiorów
17
jestczęstowykorzystywanawdowodachapagogicznych(niewprost).Dowodyte
polegająnatym,żezaprzeczamytwierdzeniuA,któremamyudowodnić.Następ-
niezzałożenia,żetwierdzeniejestfałszywe,wnioskujemysprzeczność(B∧ŹB).
Tymsamymuznajemy,żetwierdzenieAjestprawdziwe.
1.1.3.Funkcjazdaniowaikwantyfikatory.Funkcjązdaniowąnazywamy
wyrażeniezawierającezmienne,którestajesięzdaniem(prawdziwymbądźfał-
szywym),gdyzatezmiennepodstawimykonkretneprzedmioty(wartości).
Przykład5.Wyrażenie„ajestprostopadładoprostejp”.JeżeliAjestzbio-
remprostychoraza∈A,topowyższewyrażeniejestfunkcjązdaniową,gdyzaś
Ajestzbioremliczbowym,wówczasniejesttofunkcjazdaniowa.
Uwaga1.Wprzykładzie5posługiwaliśmysiępojęciamizbioru,elementu
zbioruirelacjąnależeniadozbioru.Sątopojęciapierwotneidlategoniedefiniu-
jemyich.
Jeżeli0(x)jestfunkcjązdaniową,x∈X,tozbiórXnazywamyzakresem
zmiennościzmiennejxalbozbioremargumentów.Przyjmujesię,żeX/=∅(X
jestzbioremniepustym).Zbiórtakichx∈X,dlaktórychfunkcjazdaniowajest
prawdziwa,tj.
{x∈X:0(x)}lubinaczej{x:0(x)}j
nazywamywykresemfunkcjizdaniowej.
Przykład6.Wyrażeniex2>4jestfunkcjązdaniową.GdyX=[1j∞),wte-
dy{x:0(x)}=(2j∞),gdyzaśX=(−1j1),wówczas{x:0(x)}=∅.
Podobniedlafunkcjizdaniowejwieluzmiennychdefiniujemyzbiórargumen-
tówiwykresfunkcjizdaniowej.
SymbolA
oznaczawyrażenie„dlakażdegox”,zaśsymbolV
oznaczawyra-
x
x
żenie„istniejetakiex”.SymboleA
,V
nazywamyodpowiedniokwantyfikatorem
x
x
dużymimałym.Dlapodkreśleniazakresuzmiennościzmiennejxczęstopiszemy
A
,V
.Dokładającdofunkcjizdaniowejkwantyfikator,otrzymujemyzdanie
x∈X
x∈X
logicznebądźinnąfunkcjęzdaniową.
Przykład7.NiechRoznaczazbiórliczbrzeczywistych.WyrażeniaA
x>3,
x∈R
V
x>3sązdaniami,awyrażenieV
xg>4jestfunkcjązdaniową.
x∈R
x∈R
Otoprawarachunkukwantyfikatorów:
Ź^
0(x)⇔V
Ź0(x)(prawodeMorgana)j
x
x
ŹV
0(x)⇔^
Ź0(x)(prawodeMorgana)j
x
x
