Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Zbioryliczbowe
41
madokładnienpierwiastkówzespolonych.Jeżeliz=r(cos0+isin0),r>0,
0≤0<2π,totepierwiastkimożnaprzedstawićwpostaci
(31)
xk=n
√r(cos
0+2kπ
n
+isin
0+2kπ
n
),k=0j1j...jn−1.
Dowód.Sprawdzimynajpierw,żekażdaliczbapostaci(31)spełniarównanie
(30).ZewzorudeMoivre’amamy
xn
k=r(cos(0+2kπ)+isin(0+2kπ))=r(cos0+isin0)=z
dlakażdegokcałkowitego.Następniepokażemy,żeliczbyxojx1j...jxn11są
różne.Jeżelixk=xpdlapewnychliczb0≤k<p≤n−1,toargumentyliczb
xkixpróżniąsięowielokrotność2π.Stąddlapewnejliczbycałkowitejmmamy
0+2pπ
n
=
0+2kπ
n
+2πm.
Zatemp−k=nm,cojestniemożliwe,bo0<p−k<n.Trzebajeszczespraw-
dzić,żeniemainnychpierwiastków.Gdybyliczbaxbyłapierwiastkiemrównania
(30),tomiałabypostaćtrygonometryczną
x=R(coso+isino)j
R>0j
0≤o<2π.
Stąd
xn=Rn(cosno+isinno)=r(cos0+isin0).
ZatemR=n
√rino=0+2kπ,gdziekjestpewnąliczbącałkowitą.Ponieważ
0≤no<2πni0≤0<2π,więc0≤k≤n−1.Zatemliczbaojestpostaci
o=
0+2kπ
n
j
gdziek=0j1j...jn−1.
Przykład5.Rozwiążemyrównaniez6=1.Ponieważ1=cos0+isin0,więc
zk=cos
2kπ
6
+isin
2kπ
6
j
k=0j1j...j5.
Poszczególnepierwiastkisąnastępujące:
zo=1j
z1=cos
π
3
+isin
π
3
=
1
2
+i
√3
2
j
z2=cos
2π
3
+isin
2π
3
=−
1
2
+i
√3
2
j
z3=cosπ+isinπ=−1j
z4=cos
4π
3
+isin
4π
3
=−
1
2
−i
√3
2
j
