Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
40
I.Wstępdomatematyki
Dowód.Korzystającz(27)istosującindukcję,otrzymujemywzór(29)dla
knaturalnych.Równieżzewzoru(27)mamy
(cos(−k0)+isin(−k0))(cosk0+isink0)=1j
anastępniezjużudowodnionegowzoru(29)dlaknaturalnychdostajemy
cos(−k0)+isin(−k0)=(cos0+isin0)1k.
Dlak=0mamy(cos0+isin0)o=1=cos0+isin0.
Przykład3.KorzystajączewzorudeMoivre’a,obliczymy(−1+i√3)
12
.
Niechz=−1+i√3.Wtedy|z|=2oraz
z=2(cos
2π
3
+isin
2π
3).
Zatem
z12=212(cos8π+isin8π)=212.
Przykład4.KorzystajączewzorudeMoivre’a,wyprowadzimywzoryna
cosn0orazsinn0.
cosn0+isinn0=(cos0+isin0)
n=
Σ
k=o
n
(
n
k)cosn1k0sink0·ik
=cosn0+i(
n
1)cosn110sin0−(
n
2)cosn120sin20
−i(
n
3)cosn130sin30+(
n
4)cosn140sin40+...
=(cosn0−(
n
2)cosn120sin20+(
n
4)cosn14sin40−...)
+i((
n
1)cosn110−(
n
3)cosn130sin30+...).
Stąd
cosn0=cosn0−(
n
2)cosn120sin20+(
n
4)cosn14sin40−...j
sinn0=(
n
1)cosn110sin0−(
n
3)cosn13sin30+....
KorzystajączewzorudeMoivre’a,możnarozwiązywaćrównaniazespolone
postacixn=z.
Twierdzenie6.Dlakażdejliczbyzespolonejz/=0idlakażdejliczbynatu-
ralnejnrównanie
(30)
xn=z
