Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Mamy
I.Wstępdomatematyki
((p⇒q)⇒p)⇒p=((Cpq)⇒p)⇒p=(CCpqp)⇒p=CCCpqpp,
(∼p⇒p)⇒p=(Np⇒p)⇒p=(CNpp)⇒p=CCNppp9
∼p⇒(p⇒q)=Np⇒(p⇒q)=CNp(p⇒q)=CNpCpq.
PRZYKŁAD3.Zapisaćwsymbolicenawiasowejformuły:EKpqNCpNq,
EKpqNANpNq9ECpqANpq.
Mamy
EKpqNCpNq=EKpq∼(p⇒∼q)=
=E(p∧q)∼(p⇒∼q)=(p∧q)⇔∼(p⇒∼q),
EKpqNANpNq=EKpq∼(∼p∨∼q)=
=E(p∧q)∼(∼p∨∼q)=(p∧q)⇔∼(∼p∨∼q),
ECpqANpq=Ećpq(∼p∨q)=
=E(p⇒q)(∼p∨q)=(p⇒q)⇔(∼p∨q).
Łatwoudowodnićnastępującetautologie
(p⇒q)⇔(∼q⇒∼p),
(p⇒q)⇔(∼p∨q).
Pokażemy,jakmożnajewykorzystaćjakometodydowodowe.
PRZYKŁAD4.Pokazać,żejeśliliczbanaturalnan2jestparzysta,tonteżjestliczbą
parzystą.
Mamy
[(n2parzysta)⇒(nparzysta)]⇔[∼(nparzysta)⇒∼(n2parzysta)].
Ponadto
(nparzysta)⇒n=2k+1⇒n2=4k2+4k+1⇒∼(n2parzysta)
PRZYKŁAD5(dowódniewprost).Pokazać,żed2jestliczbąniewymierną.Pod-
stawiającwtautologii(p⇒q)⇔(∼p∨q)zaqzdaniefałszywe0,dostajemy
(p⇒0)⇔(∼p∨0)⇔∼p.Jeżeliprzezpoznaczymyzdanie„d2jestliczbą
wymierną”,tomamy
[(d2jestliczbąwymierną)⇒0]⇔(d2jestliczbąniewymierną).
Niechd2=n
m,gdzien
mjestułamkiemnieskracalnym.Mamy:
(d2=
m)⇒(n2=2m2)⇒(n2parzysta)⇒(nparzysta)⇒(n=2k)⇒
n
⇒(2m2=4k2)⇒(m2=2k2)⇒(m2parzysta)⇒(mparzysta)⇒
⇒(m=2l)⇒(
m
n
=
2k
2l)⇒0
(boułamekn
mjestnieskracalny).
