Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
W1.Rachunekzdań.Formyzdaniowe.Prawadziałańnakwantyfikatorach
1.5.Predykaty
19
Predykat(formazdaniowa)jesttofunkcja,którejwartościamisązdania.Można
teżinaczejpowiedzieć,żejesttowyrażeniezawierającezmienneiopisującejakąśwłas-
ność.Jeszczeinaczej,towyrażeniezawierającezmiennąprzebiegającąpewienzbiór.Po
podstawieniuzazmiennądowolnejwartościzezbioru,wyrażeniestajesięzdaniem.
PRZYKŁADY:
6)3|n9
7)x>19
8)x+2=39
n∈Z(trzydzielin),
x∈R,
x∈R.
Niechφ(i)9i∈Nbędziedowolnąformązdaniową.Wówczaszdaniep=φ(1)∧
φ(2)∧φ(3)jestprawdziwe,gdyprawdziwesązdaniaφ(1)9φ(2)9φ(3).Uogólniając
tenprzykład,zdanieq=φ(1)∧φ(2)∧φ(3)∧...=^
φ(i)jestprawdziwe,gdydla
i∈N
każdegoi∈Njestφ(i),lubinaczej:jestonoprawdziwe,gdyjestprawdziwykażdy
jegoczynnik.
Ogólnie,zdanie^
φ(x)jestprawdziwewtedyitylkowtedy,gdydlakażdego
x∈D
elementux∈Djestprawdziwezdanieφ(x).
Analogicznie,zdanier=φ(1)∨φ(2)∨φ(3)jestprawdziwe,gdyjestprawdziweco
najmniejjednozezdańφ(1)9φ(2)9φ(3).Uogólniając,zdaniet=φ(1)∨φ(2)∨φ(3)∨
...=V
φ(i)jestprawdziwe,gdyistniejetakiei∈N,żeprawdziwejestzdanieφ(i),
i∈N
tj.istniejeskładnikprawdziwy.
Ogólnie,zdanieV
φ(x)jestprawdziwetylkowtedy,gdyistniejex∈D,dlaktórego
x∈D
φ(x)jestprawdziwe.
Symbol^
nazywamykwantyfikatoremogólnym(dużym)(Π9∀),aV
—kwan-
x∈D
x∈D
tyfikatoremegzystencjalnym(małym,szczegółowym)(Σ9∃).ZbiórDnazywamytu
zakresemzmiennościkwantyfikatora.Kwantyfikatoryczęstowystępująwformułachma-
tematycznych.Wjęzykupotocznymodpowiadająsłowom:„wszyscy”,„niektórzy”.
1.6.Prawadziałańnakwantyfikatorach
PoznanewcześniejprawadeMorganasąprawdziwedladowolnejliczbyskładników
(czynników),naprzykładdlatrzechzdań:
∼(p∧q∧r)⇔∼p∨∼q∨∼r9
∼(p∨q∨r)⇔∼p∧∼q∧∼r.
Dladowolnegozakresuzmienności:
∼(^
x∈D
φ(x))⇔V
x∈D
(∼φ(x))9
∼(V
x∈D
φ(x))⇔^
x∈D
(∼φ(x)).
