Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
I.Wstępdomatematyki
2.2.Podzbiory,zawieranieirównośćzbiorów
Zawieraniezbiorówokreślanastępującaformuła:
⊂—znakinkluzji(zawierania),
A⊂B⇔^
x
(x∈A⇒x∈B)9
A⊂B—{
AjestpodzbioremB,
BjestnadzbioremA,
AjestzawartewB,
A/⊂B—AniejestpodzbioremB,
A/⊂B⇔∼(A⊂B)⇔∼^
(x∈A⇒x∈B)⇔V
(x∈A∧x/∈B).
x
x
Istniejezbiór,któryzawierasięwkażdymzbiorze.Zbiórtennazywamyzbiorem
pustymioznaczamysymbolem∅.Jesttozbiór,doktóregonienależyżadenelement,
tzn.^
x
x/∈∅.
PRZYKŁAD1.Niech2A={x:x⊂A}oznaczazbiórwszystkichpodzbiorówzbioruA.
2{a}={∅9{a}},
2{a9b}={∅9{a}9{b}9{a9b}}.
Oznaczającsymbolemn(B)liczbęelementówzbioruskończonegoB,mamy:
n(2A)=2n(A).
Równośćzbiorówokreślaformuła:
A=B⇔^
x
(x∈A⇔x∈B).
Uwaga1.{19192}={192}={291}91/={1}.
Korzystajączodpowiednichtautologiidotyczącychimplikacji,nietrudnoudowodnić,
żeprawdziwejest
STWIERDZENIE(własnościrelacjizawierania).
∅⊂A9
A⊂A
(zwrotność),
(A⊂B∧B⊂C)⇒A⊂C
(przechodniość),
(A⊂B∧B⊂A)⇒A=B
(antysymetria)
dladowolnychzbiorówA9B9C.
2.3.Działanianazbiorach
DladowolnychzbiorówA9Bokreślasięzbioryoznaczonesymbolami:A∪B9A∩B9
A\B9A/.Nazywasięjeodpowiedniosumą(połączeniem),iloczynem(przekrojem),
różnicą,dopełnieniemwprzestrzeniX.Określasięjenastępująco:
A∪B={x:x∈A∨x∈B}9
