Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
W2.Zbiory.Iloczynkartezjański.Relacje
A∩B={x:x∈A∧x∈B}9
A\B={x:x∈A∧x/∈B}9
A/={x∈X:x/∈A}.
Sumaiiloczynzbiorówmająnastępującewłasności:
L1.
A∪A=A9A∩A=A
—idempotentność∪i∩,
L2.
A∪B=B∪A9A∩B=B∩A
—przemienność∪i∩,
L3.
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
—łączność∪,
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
—łączność∩,
L4.
A∪(A∩B)=A9A∩(A∪B)=A—pochłanianie,
LD1.A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
—rozdzielność∪względem∩,
LD2.A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
—rozdzielność∩względem∪.
29
ZL1,L2,L3iL4wynika,żerodzinawszystkichpodzbiorówzbioruXjestkratą,
tewłasnościzaśłączniezLD1iLD2oznaczają,żejesttokratadystrybutywna(1).
Przykładowoudowodnimyrozdzielność∩względem∪:
x∈A∩(B∪C)⇔(x∈A∧x∈B∪C)⇔(x∈A∧(x∈B∨x∈C))⇔
⇔((x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C))⇔(x∈A∩B∨x∈A∩C)⇔
⇔x∈(A∩B)∪(A∩C)c.b.d.o.
Jakwidaćzpowyższegoprzykładu,twierdzeniazteoriimnogościwynikajązodpo-
wiednichtwierdzeńrachunkuzdań.Wszczególności,odpowiednikiemprawdeMorgana
zrachunkuzdańsąprawadeMorganazteoriimnogości:
(A∪B)/=A/∩B/9
(A∩B)/=A/∪B/(2).
Uwaga2.Pojęciasumyiiloczynuzbiorówmożnauogólnić.Mianowicie,dlado-
wolnejrodzinyzbiorów{At}t∈Tdefiniujesięuogólnionąsumęiuogólnionyiloczyn
zbiorówtejrodzinynastępująco:
x∈U
t∈T
At⇔V
t∈T
x∈At9
x∈Π
t∈T
At⇔^
t∈T
x∈At.
Algebręrachunkuzbiorówmożnazastosowaćdoprzekształcaniaskomplikowanychwa-
runkówsłownych.
PRZYKŁAD2.Wśród1000przypadkowychmieszkańcówStarachowicprzeprowa-
dzonosondażulicznynatematzatrudnienia,płciistanucywilnego.Badaniadały
następującewyniki:525bezrobotnychobupłci,312mężczyzn,470osóbzamężnych
lubżonatych,86żonatychmężczyzn,147bezrobotnychzamężnychlubżonatych,42
bezrobotnychmężczyzni25żonatychbezrobotnych.Sprawdzimy,czyankietazostała
(1)PatrzH.RasiowaWstępdomatematykiwspółczesnej.
(2)WszystkiewyżejwymienionewłasnościsumyiiloczynuorazprawadeMorganaoznaczają,że
systemjestrodzinąBoole’a.
