Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Równaniaróżniczkowezwyczajne
19
Wracającdozmiennychxorazy,otrzymujemyrozwiązanieogólnewpostaci
uwikłanej
y
x
2
+
ln
x
±
C
Rozwiązującrównaniewzględemy,otrzymujemy
y
2
±
xC
(
-
ln
x
)
Przyjmując
C
±
ln
C
1
,
C
1
#,otrzymujemyrozwiązanieogólnewpostacijawnej
0
y
±±
x
ln
C
x
1
Twierdzenie1.2(ojednoznacznościrozwiązańrównania(1.11))
Jeżelifunkcje
fx
()i()
hysąciągłeodpowiednionaprzedziałach
(
abi
,
)
(
cd,
,
)
przyczym
hy#
()0
dlakażdego
y
E
(
cd
,
)
oraz
x
0
E
(
aby
)
0
E
(
cd
,
)
,tozagad-
,
,
nieniepoczątkowedlarównania(1.11)
yx
()
0
±
y
0
madokładniejednorozwiązaniei
Przykład1.11
Rozwiązaćpodanezagadnieniepoczątkowedlarównaniaróżniczkowegoozmien-
nychrozdzielonych
y
'sin
x
±
y
ln,
yy
(N
||
k)
π
3
±
e
Rozwiązanie
Przyzałożeniu,żefunkcjasin
x#,czyli
0
x
#π
k
,
k
E
Z
(Zoznaczazbiórliczb
całkowitych),
y>,przekształcamypodanerównaniedopostaci(1.11)
0
dy
dx
±
y
ln
y
|
sin
1
x
Rozdzielamyzmienne,zakładając,że
y
ln
y
#
0
3
y
#
1
y
dy
ln
y
±
sin
dx
x
