Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Równaniaróżniczkowezwyczajne
Przykład1.9
Rozwiązaćpodanerównanieróżniczkoweozmiennychrozdzielonych
2
x
2
dy
dx
±
y
Rozwiązanie
17
Abyrozdzielićzmienne,należyprzyjąć,że
y#
0
oraz
x#iZwróćmyuwagę,że
0
funkcja
y±
0
spełniapodanerównanieróżniczkowe,czyli
y±
0
(ośOx),jest
takżeliniącałkowątegorównaniaiPrzyprzyjętychzałożeniachrównaniedzielimy
obustronnieprzez
2
x
2
oraz
y
1
ydx
dy
±
2
1
x
2
Następniemnożymyrównanieobustronnieprzezdxicałkujemylewostronniepo
zmiennejyiprawostronniepozmiennejx
∫
1
y
dy
±
∫
2
1
x
2
dx
Obliczająccałki,otrzymujemyrozwiązanieogólnewpostaciuwikłanej
ln
y
±-
2
1
x
+
C
,
C
E
R
Stosującdefinicjęlogarytmu,wyznaczmyy
y
±
e
-
2
1
x
+
C
±
e
-
2
1
x
|
e
C
ejestpewnąstałą,możemywięcnapisaćcałkęogólnąwpostaci
C
y
±
Ce
1
-
2
1
x
Opuszczającwartośćbezwzględną,otrzymujemy
yCe
±
1
-
2
1
x
lub
y
±-
Ce
1
-
2
1
x
Jeśliprzyjmiemy,żeC1jestdowolnąstałąrzeczywistą,rozwiązanieogólne
możemyzapisaćwpostacijawnej
yCe
±
1
-
2
1
x
