Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Równaniaróżniczkowezwyczajne
13
Geometryczniezagadnienietopolegazaznalezieniuwśródkrzywychcałkowych
równaniaróżniczkowegotej,któraprzechodziprzezzgóryzadanypunkt
M
0
(
xyi
0
,
0
)
Twierdzenie1.1(istnienieijednoznacznośćrozwiązaniarównania(1.4))
Jeżelifunkcja
fxyorazjejpochodnacząstkowa
(,)
B
B
f
y
(
xy
,
)
sąciągłenaobszarze
D
C
R
2
oraz
(
xy
0
,
0
)
E
D
,tozagadnieniepoczątkowe
y
'
±
fxy
(
)
,
yx
()
0
±
y
0
,
madokładniejednorozwiązaniewobszarzeD.
Przykład1.6
Sprawdzić,czydladowolnejwartościparametruC
E
R
funkcja
yx
()
±
Ce
x
,xR
E
jestcałkąogólnąrównaniaróżniczkowego
dy
±
y
iNastępnieznaleźćrozwiązanie
dx
spełniającewarunekpoczątkowy(1)
y
±-i
1
Rozwiązanie
Wpierwszymkrokuobliczamypochodnąrzędupierwszegotejfunkcji,przyjmu-
jąc,żeCjestpewnąstałąrzeczywistąi
yx
'()
±
(
Ce
x
)
'
±
Ce
x
Następnieobliczonąpochodnąwstawiamydorównaniaróżniczkowego
dy
dx
±
y
3
Ce
x
±
Ce
x
3
L
±
P
ZatemdlakażdejwartościC
E
R
funkcja
yx
()
±
Ce
x
jestcałkąogólnąrównania
różniczkowegodlaxR
EiAbywyznaczyćcałkęszczególnątegorównaniaprzy
zadanymwarunkupoczątkowym,obliczamyC
y
(1)
±
Ce
1
3-±
1
Ce
3
C
±-
1
3
C
±-
e
-
1
e
WstawiającobliczonąwartośćparametruCdocałkiogólnej,otrzymujemycałkę
szczególną
yx
()
±-
e
-
1
|
e
x
3
y
±-
e
x
-
1
