Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
Rozdział1
ZagadnienieCauchy’egopoleganawyznaczeniukrzywejcałkowejrównania(1.1)
spełniającejwarunkipoczątkowe(1.2)dlakażdegoukładuwartościpoczątkowych
x
0
E
(
abyy
)
0
1
,iii,
y
n
-
1
E,dlaktóregokrzywatakaistniejei
R
,
,
,
Definicja1.5
Rozwiązaniemogólnym(całkąogólną)(RO)równaniaróżniczkowegozwyczaj-
negorzędunnazywamyrodzinękrzywychcałkowychtegorównaniazależnąod
n-parametrów
CC
1
2
,iii,
C,gdzie
n
C
i
E
Ri
,
±
1,2,iii,
n
,którychwartościmożna
,
dobraćtak,abyotrzymaćkrzywącałkowąspełniającąwarunkipoczątkowe(1.2),
dlakażdegoukładuwartościpoczątkowych,dlaktóregokrzywatakaistniejei
Rozwiązanieogólneniezawszezawierawszystkierozwiązaniarównaniaróżnicz-
kowegoi
Definicja1.6
Rozwiązaniemosobliwym(całkąosobliwą,rozwiązaniemdodatkowym)(RD)
równaniaróżniczkowegozwyczajnegonazywamytakierozwiązanietegorówna-
nia,któregoniemożnaotrzymaćzrozwiązaniaogólnegoprzyżadnejwartości
parametruC.
Przykład1.3
Rozwiązaniemogólnymrównania
y
'
±-
2
xy
2
jestcałka
y
±
x
2
1
+
C
,
CR
E
,xR
Ei
Rzeczywiście,obliczającpochodną
y
'
±
(
x
2
-
+
2
x
C
)
2
ipodstawiającfunkcjęyijej
pochodnądorównania,otrzymujemytożsamośći
Rozwiązaniemtegorównaniajesttakżefunkcja
y±,jednakprzyżadnejwartości
0
parametruCzcałkiogólnejnieotrzymamyfunkcji
y±iRozwiązanietojest
0
więczgodniezdefinicją1.6całkąosobliwątegorównaniai
Przykład1.4
Całkaogólnarównaniaróżniczkowego
y
''9
+
y
±
0
jestokreślonarównaniem
yC
±
1
cos3
xC
+
2
sin3
x
,gdzie
CC
1
,
2
EiWyznaczyćcałkęszczególnąrównania
R
różniczkowegodlawartościpoczątkowych
y
(N
||
k)
π
3
±
1,
y
'
(N
||
k)
π
3
±
1
i
