Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Równaniaróżniczkowezwyczajne
Rozwiązanie
9
Zgodniezdefinicją1.3funkcjajestrozwiązaniemrównaniaróżniczkowego,jeśli
popodstawieniudorównaniafunkcjiijejpochodnejotrzymamytożsamośći
Obliczmywięcpochodną
y
'(
±
xe
|
x
+
2)'
e
x
±
e
x
+
xe
x
+
2
e
x
Następniewstawiamydorównania
L
±
y
'
-±
y
e
x
+|
xe
x
+
2
e
x
-|
xe
x
-
2
e
x
±
e
x
±
P
FunkcjajestzatemrozwiązaniempodanegorównaniadlaxR
E,nazywamyją
całkąszczególnątegorównaniaróżniczkowegoiRozwiązaniamiszczególnymi
podanegorównaniadlaxR
E
będątakżefunkcje
y
±|
xe
x
-
3
e
x
,
y
±|
xe
x
,co
łatwosprawdzići
Istniejezatemwielefunkcji,którespełniajątorównaniedlaxR
EiRozwiązując
równaniaróżniczkowezwyczajne,podajemyzazwyczajzbiórfunkcji,któryjest
rozwiązaniemtegorównaniaiDlarównaniaróżniczkowegopodanegowprzykła-
dzie1.2możnazapisaćrozwiązaniawpostaci
y
±|
xe
x
+
Ce
x
,gdzie
C
E
R
jest
dowolnąstałąiNadającparametrowiCdowolnewartości,otrzymujemyrozwiąza-
niaszczególnetegorównaniai
ZagadnienieCauchy’ego
Wwieluzagadnieniachdotyczącychteoriirównańróżniczkowych,awszczegól-
nościzastosowańteoriidoopisuzagadnieńfizycznychitechnicznych,poszukuje
sięwśródwszystkichrozwiązańrównaniaróżniczkowegotakiegorozwiązania,
którespełniapewnewarunkipoczątkoweiZagadnienietonosinazwęzagadnienia
Cauchy’egoi
Definicja1.4
ZagadnieniemCauchy’egodlarównaniaróżniczkowegorzędun(1.1)nazywamy
zagadnienienastępujące:znaleźćcałkęszczególnątegorównaniawprzedziale
(
ab,któraspełniawarunkipoczątkowe
,
)
yx
()
0
±
y
0
,
yx
'
()
0
±
y
1
,iii,
y
(
n
-
1)
()
x
0
±
y
n
-
1
(1i2)
przyczymliczby
x
0
E
(
abyy
)
0
1
,iii,
y
n
-
1
E,którenazywamywartościami
R
,
,
,
początkowymi,sądanei
