Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Naodwrót,biorąc(zjx)∈R
i(gjx)∈R
11
1,azatem(gjz)∈R2i(xjg)∈R1.Tooznacza,że(xjz)∈R1◦R2iwrezultacie
2
11
◦R
11
1
stwierdzamy,żeistniejeg∈Ytaki,że(zjg)∈R
11
2
(zjx)∈(R1◦R2)11.Zdowolnościwyboruelementu(zjx)wynikazawieranie
R
11
2
◦R
11
1
⊂(R1◦R2)
11j
którewrazz(3.1)dajeżądanąrówność.
3.2
Własnościrelacji.Szczególnerodzajerelacji
Wtymdzialenapoczątkuwprowadzimypodstawowewłasności,któremożespełniaćrelacja
dwuargumentowawniepustymzbiorzeX.Następnieprzejdziemydoomówieniaważnegorodza-
jurelacji,mianowicierelacjirównoważności.Początkówtegorodzajurelacjimożnadoszukiwaćsię
wpracachniemieckiegologikaR.Fregego,któremuowerelacjeposłużyłydozdefiniowanialiczb
naturalnych.ZagadnieniamizwiązanymizrelacjamirównoważnościzajmowalisiętakżeG.Can-
tor,któryopisałwjęzykuklasrównoważnościliczbyrzeczywisteorazR.Dedekind.Twierdzenie
oabstrakcjiwprowadziłG.Peano.
Wkolejnejczęścipodajemydefinicjeiprzykładyrelacjiquasi-porządkujących,częściowoporząd-
kującychorazliniowoporządkującychniepustyzbiórX.
Definicja3.7RelacjędwuargumentowąR⊂XXXnazywamy:
1.
zwrotną,gdy
∀x∈X((xjx)∈R)
2.
przeciwzwrotną,gdy
∀x∈X∼((xjx)∈R)
3.
symetryczną,gdy
∀x∈X∀y∈X((xjg)∈R1⇒(gjx)∈R)
4.
słabosymetryczną(asymetryczną),gdy
∀x∈X∀y∈X((xjg)∈R∧(gjx)∈R1⇒x1g)
5.
przeciwsymetryczną,
(antysymetryczną),gdy
∀x∈X∀y∈X((xjg)∈R1⇒∼((gjx)∈R))
6.
przechodnią,gdy
∀x∈X∀y∈X∀z∈X((xjg)∈R∧(gjz)∈R
1⇒(xjz)∈R)
7.
spójną,gdy
∀x∈X∀y∈X((xjg)∈R∨(gjx)∈R∨x1g)
Definicja3.8Relacjęzwrotną,symetrycznąiprzechodniąnazywamyrelacjąrównoważności.
Definicja3.9NiechRbędzierelacjąrównoważnościwniepustymzbiorzeX.Klasąabstrakcji
oreprezentanciex∈Xnazywamyzbiór:
[x]R1{g∈X:(xjg)∈R}.
ZbiórwszystkichklasabstrakcjiwXzewzględunarelacjęRoznaczamaysymbolemX/R.
Przykład3.5Rozważmy,jaknapoczątkutegodziału,zbiórXjakozbiórwszystkichludzi
zamieszkującychnasząplanetę.RelacjaRpomiędzydwomaosobamiztegozbiorujestokreślona
wtensposób,żepozostająonizesobąwrelacjitylkowtedy,gdymajątakąsamąwagę.Widzimy,
żejeśliosobaważy60kg,todokalsyabstrakcji,reprezentowanejprzeztęosobęzewzględunatę
relację,należąteitylkoteosobyznaszejplanety,któreważą60kg.Zauważmy,żejeślidwieróżne
osobyróżniąsięswojąwagą,tokażdaznichnależydoinnejklasyabstrakcji.Tymsposobem
dokonaliśmypodziałuzbioruXnaklasyabstrakcji,któresąrozłączne,gdyreprezentanciniesą
zesobąwrelacjilubtakiesame,gdyreprezentancimajątakąsamąwagę.Podanarelacjajest
relacjązwrotną,ponieważkażdaosobajestzesobąwrelacji;symetryczną,gdyżprzyzałożeniu,
żeosobaAjestwrelacjizosobąBwynika,żeosobyAiBmajątakąsamąwagę,skądwynika,
żeBjestwrelacjizosobąA.JeżeliterazosobyAiBważątylesamoiBorazCteżmają
takąsamąwagę,tooznaczato,żeosobyAiCmuszątylesamoważyć.WobectegoAiC
sązesobąwrelacji,czyliomawianarelacjajestprzechodnia.Ztegowzględuuzasadniliśmy,że
rozpatrywanarelacjajestrelacjąrównoważności.
42
