Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2
Formazdaniowa.Kwantyfikatory
JeżeliXjestniepustymzbiorem,toformązdaniową0(x)zmiennejxnazywamywyrażenie,które
stajesięzdaniem,gdyzazmiennąxpodstawimywwyrażeniu0(x)dowolnyobiektzezbioruX.
ZbiórXprzyjmujemyjakozakreszmiennościzmiennejx.
NiechX11NjX21Z1jX31RjgdzieZ1oznaczazbiórliczbcałkowitychujemnych.Roz-
patrzmyformęzdaniową:
0(x):2x−1>0
(1.5)
JeżelizazakreszmiennościprzyjmiemyzbiórX1,toformazdaniowa0(x)stajesięzawszezda-
niemprawdziwym,zaśwprzypadku,gdyzakreszmiennościxbędziezezbioruX2,toforma
zdaniowazawszebędziezdaniemfałszywym.Wostatniejsytuacji,gdyxprzebiegazbiórX3,to
formazdaniowadlapewnychliczbbędziezdaniemprawdziwymadlapewnychzdaniemfałszy-
wym.Toprowadzinasdonastępującejklasyfikacjiformzdaniowych:
Definicja1.9NiechXbędzieniepustymzbiorem.FormęzdaniowąnazywamyklasyFjgdy
otrzymujemyzawszezdaniefałszywe,bezwzględunatojakielementzezbioruXwstawimy
wmiejscezmiennejx.FormęzdaniowąnazywamyklasyPjgdydostaniemyzawszezdaniepraw-
dziwepopodstawieniudowolnegoelementuzXwmiejscezmiennejx.Formęzdaniowąnazywamy
klasyT,gdypopodstawieniupewnychelementówzamiastzmiennejxzezbioruXdoprowadzi
nastodozdaniaprawdziwegoapopodstawieniuinnychdozdaniafałszywego.
Mającdwieformyzdaniowe0(x)jw(x),gdziex∈X,możemybudowaćbardziejzłożone
formyzdaniowe:
0(x)∧w(x)j
0(x)∨w(x)j
0(x)1⇒w(x)j
0(x)⇐⇒w(x).
Wzależnościodtegojakiejklasysąformyzdaniowe0(x)iw(x)możemyokreślićklasęform
zdaniowychutworzonychpowyżej,np.:jeśli0(x)jestklasyF,to0(x)∧w(x)jestklasyF;zaś
0(x)1⇒w(x)klasyP.
Istotnąrolęwmatematyce,np.wbudowaniudefinicji,formułowaniutwierdzeń,wnioskowa-
niulubrozumowaniachodgrywająrolękwantyfikatory.Kwantyfikatorogólny(duży,uniwersalny)
zastępujezwrotndlakażdego...n,któryoznaczamysymbolem∀,nastomistkwantyfikatorszczegó-
łowy(mały,egzystencjalny)zastępujezwrotnistnieje...nioznaczanyjestsymbolem∃.JeżeliX
jestzakresemzmiennościzmiennejx,tozapis∀x∈X0(x)czytamy:ndlakażdegoxmamy0(x)n,
azapis∃x∈X0(x)odczytujemynistniejex∈Xtakie,że0(x)n.Zauważmy,żejeśliformęzda-
niową0(x)poprzedzimyktórymśzkwantyfikatorów,touzyskamyzdanie.Formazdaniowaklasy
FlubTpoprzedzonakwantyfikatoremogólnymdajenamzdaniefałszywe,formazdaniowakla-
syPzeznakiemkwantyfikatoraogólnegodajenamzdanieprawdziwe;formazdaniowaklasyF
zużytymkwantyfikatoremszegółowymprowadzinasdozdaniafałszywego,wpozostałychprzy-
padkachdozdaniaprawdziwego.
Wtejksiążceograniczamysiędorozpatrywaniazmiennychzdaniowychzjednązmiennąwolną
x.Możemyjednakrozpatrywaćformyzdaniowe,którezawierająwięcejzmiennychwolnych,np.
dwiexjg,gdziex∈Xorazg∈Y(Xoznaczazakreszmiennościx,aYzakreszmiennościg).
Przykłademtakiejformyzdaniowejjest:
0(xjg):(x−
1
2)
2
+g2>
1
4
.
12
