Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3
Regułydowodzenia
Przyjmijmy,żeΨjestschematemzbudowanymzfunktorówzdaniotwórczych,zmiennychzda-
niowychorazewentualnienawiasów.Poprzezzapisw(Ψ)11będziemyrozumieć,żeschematΨ
jestzawszeprawdziwy,bezwzględunatojakiewartościlogiczneprzyjmująwystępującewnim
zdaniaprosteizmiennezdaniowe.Niechteraz01j02j...j0n,gdzien∈N+,oznaczająschema-
ty,któresązbudowanezezmiennychzdaniowych,funktorówzdaniotwórczychoraznawiasów.
Mówimy,żeschematΨjestlogicznąkonsekwencjąschematów01j02j...0n,gdyzfaktu,że
w(01)11,w(02)11,...,w(0n)11wynikaw(Ψ)11.Schematy01j02j...0nnazywamy
przesłankami,natomiastschematΨwnioskiem.Reguładowodzeniajesttooperacja,któraskoń-
czonymciągomschematów01j02j...0nprzyporządkowujeschematΨ,będącykonsekwencją
logicznąschematów01j02j...0n.Regułędowodzeniazapisujemysymbolicznienastępująco:
01j02j...j0n
Ψ
Przykład1.5Uzasadnić,żenastępującyschemat:
p1⇒qjq1⇒r
p1⇒r
jestregułądowodzenia.
Rozwiązanie
Zakładamy,żew(p1⇒q)11,w(q1⇒r)11iprzypuśćmy,żew(p1⇒r)10jcoimplikuje
w(p)11jw(r)10.Zatem,napodstawiezałożeniaw(q1⇒r)11,musibyćw(q)10.Otrzy-
mujemyw(p)11iw(q)10,skądw(p1⇒q)10,coprowadzidosprzeczności.Wrezultacie
p1⇒rjestkonsekwencjąlogcznąprzesłanekp1⇒qjq1⇒r.
Przykład1.6Uzasadnić,żenastępującyschemat:
p1⇒(q1⇒r)
(p1⇒q)1⇒(p1⇒r)
jestregułądowodzenia.
Rozwiązanie
Przyjmujemy,żew(p1⇒(q1⇒r))11orazprzypuszczamy,żeprzyjakimśwartościowaniu
mamy
w((p1⇒q)1⇒(p1⇒r))10j
codaje
w(p1⇒q)11j
w(p1⇒r)10.
Stądwynika,żew(p)11jw(r)10.Ponieważw(p1⇒q)11,tow(q)11.Uzyskujemy:
w(p1⇒(q1⇒r))10j
cowkonsekwencjidajesprzeczność.Stądwnioskujemy,żeschematjestregułądowodzenia.
Twierdzenie1.3Następująceschematysąregułamidowodzenia:
1.
p∧q
pjq
,
2.
p∧q
p
,
p∨q
p
,
p∨q
q
;
p∧q
q
;
14
