Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.ZbiórAnazywamyograniczonymzdołu,gdyistniejeliczbam∈Rtaka,żex>mdla
każdegox∈A.NajwiększeograniczeniedolnezbioruAnazywamykresemdolnymtego
zbioruioznaczamysymboleminfA;
3.ZbiórAnazywamyograniczonym,gdyjestograniczonyzdołuizgóry.
Jeżelizbiórjestnieograniczonyzgóry,toprzyjmujemysupA1+∞,zaśgdyniejestograniczony
zdołu,toprzyjmujemyinfA1−∞.Wprzypadkuzbiorupustegookreślamysup∅1−∞,
inf∅1+∞.
Przykład2.6Wyznaczyćkresdolny,górnyzbioruiwprzypadku,gdyisniejąmaxAiminA,
jeśli:1.A1[−2j0];
2.B1{−4j−3}U(−2j1)U{3};
3.C1(0j+∞);
4.D1N;
5.E1{21k+31l:kjl∈N+}.
Rozwiązanie:
1.infA1minA1−2jsupA1maxA10;
2.infB1minB1−4jsupB1maxB13;
3.infC10jminC−nieistniejejsupC1+∞jmaxC−nieistnieje;
4.infD1minD10jsupD1+∞jmaxD−nieistnieje;
5.infE10jminE−nieistniejejsupE1maxE15
6
2.2
Uogólnioneprzekrojeisumyzbiorów
Definicja2.14NiechXbędziedowolnąprzestrzeniąorazTbędzieniepustymzbiorem.Uogól-
nionąsumązbiorów{At:t∈T}⊂P(X)nazywamyzbiór
t∈T
U
At1{x∈X:∃t∈T(x∈At)}.
Uogólnionymprzekrojemzbiorów{At:t∈T}⊂P(X)nazywamyzbiór
t∈T
Π
At1{x∈X:∀t∈T(x∈At)}
.
∞
∞
JeżeliT1N,touogólnionąsumęiprzekrój,odpowiednio,zapisujemy:
U
Anj
Π
An.
n=0
n=0
Definicja2.15JeśliXjestzbiorem,torodzinęzbiorów{An:n∈N}⊂P(X)nazywamy
zstępującą,gdyAn+1⊂Andlakażdegon∈N,zaśrodzinęzbiorów{An:n∈N}⊂P(X)
będziemynazywaćwstępującą,gdyAn⊂An+1dlakażdegon∈N.
Twierdzenie2.7NiechXbędziedowolnymzbiorem,T/1∅-zbioremindeksóworaz
{At:t∈T}⊂P(X)j
{Bt:t∈T}⊂P(X).
27
