Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Wówczas:
1.At⊂U
AtjAt⊂Π
Atdlakażdegot∈T;
2.U
AtUU
Bt1U
(AtUBt);
3.Π
5.U
t∈T
t∈T
(At∩Bt)⊂U
AtUΠ
t∈T
t∈T
Bt⊂Π
t∈T
t∈T
t∈T
At∩U
(AtUBt);
t∈T
Bt;
4.Π
6.A\U
8.(U
t∈T
t∈T
t∈T
At∩Π
t∈T
At)
At1Π
t∈T
t∈T
!
1Π
Bt1Π
t∈T
t∈T
(A\At);
A
t∈T
t∈T
I
t;
(At∩Bt);
7.A\Π
9.(Π
t∈T
t∈T
At)
At1U
!
1U
t∈T
t∈T
(A\At);
A
I
t.
Przykład2.7Wyznaczyćuogólnionesumyiprzekrojenastępującychrodzinzbiorówwpodanej
przestrzeniX:
1.X1RjAn1[0j
n)jn∈N+;
1
2.X1RjAn1(0j
n)jn∈N+;
1
3.X1RjAt1(1−tj1+t)jt>0;
4.X1RjAw1(wj+∞)jw∈Q;
5.X1RXRjAt1{(xjtx):x∈R}jt∈R;
Rozwiązanie:
Przypodanychzbiorachotrzymujemy:
1.
n=1
Π
∞
An1{0}j
n=1
U
∞
An1[0j1);
2.
n=1
Π
∞
An1∅j
n=1
U
∞
An1(0j1);
3.Π
t>0
At1[−1j1]j
t>0
U
At1R;
4.Π
w∈Q
Aw1∅j
w∈Q
U
∞
Aw1R;
5.Π
At1{(0j0)}j
U
At1R
2\{(0jg):g∈R\{0}}.
t∈R
t∈R
Przykład2.8NiechXbędziezbioremiT/1∅.Uzasadnić,żejeśliAt⊂Bt⊂Xdlakażdego
t∈T,to
t∈T
U
At⊂U
t∈T
Bt.
Roziązanie:JeślikażdyzezbiorówAtjestzbiorempustym,tooczywiściepodanawłasność
zachodzi.Przyjmijmyzatem,żesumaU
Atjestzbioremniepustymiwybierzmyelementx
t∈T
ztegozbioru.Istniejeindekst0taki,żex∈At
0,anapodstawiezałożeniaelementxnależy
równieżdozbioruBt
0.Stądx∈U
Bt.Ztychfaktówwynikatezawnaszymprzykładzie.
t∈T
28
