Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Przykład3.11WzbiorzeN+określamyrelacjęRnastępująco:kRl⇐⇒(l|k∧k|l).
TakzdefiniowanarelacjajestrelacjączęściowegoporządkuwN+,aleniejestrelacjąliniowo
porządkującązbiórN+,tzn.niespełniawarunkuspójności(wtymceluwystarczyrozpatrzyć
elementyk12jl13).
Przykład3.12WzbiorzeRdefiniujemyrelacjęnierównościRwnastępującysposób:
xRg⇐⇒x<g.Takzdefiniowanarelacjajestrelacjąliniowegoporządku.
Przykład3.13NiechRbędzierelacjąprzeciwzwrotną,przechodniąispójnąorazSrelacją
liniowegoporządkuwQir∈IQ.DefiniujemyzbiórX11{a+br:ajb∈Q}.WzbiorzeX1dla
elementówx1a1+b1rjg1a2+b2rdefiniujemyrelacjęR1⊂X1XX1
xR1g⇐⇒a1Ra2∨[a11a2∧b1Sb2].
Pokażemy,żetakokreślonarelacjajestrelacjąliniowegoporządkuwzbiorzeX1.
Rozwiązanie:
RelacjaR1jestzwrotna,ponieważdlax1a+brjesta1aibSb(wynikazezwrotnościrelacji
S),czylixR1x.
Wykażemy,żepodanarelacjajestasymetryczna.Zakładamy,żexR1gorazgR1x.Gdybyprzy-
puścić,żea1Ra2,tozfaktu,żegR1xwynika,żea21a1,coprowadzidosprzeczności,ponieważ
relacjaRjestprzeciwzwrotna.Wobectegomusibyća11a2.Napodstawiezałożeniab1Sb2
ib2Sb1,czylizasymetriirelacjiSdostajemyb11b2.Pokazaliśmy,żex1g.
Wykażemyteraz,żeR1jestprzechodnia.NiechxR1gigR1z,gdziex1a1+b1r,g1a2+b2r,
z1a3+b3r.Możliwesąsytuacje:
1.a1Ra2luba2Ra3
Wtymprzypadku,jeślia1Ra2ia2Ra3,tozprzechodniościrelacjiRwynika,żea1Ra3,
czylixR1z;jeżelia1Ra2ia21a3,toa1Ra3,skądxR1zinakoniec,podobnie,jeżelia11a2
ia2Ra3,toa1Ra3,czylixR1z.Wykazaliśmy,żewtymprzypadkuzawszemamyxR1z;
2.a11a21a3
Wtedy∼a1Ra2i∼a2Ra3,conapodstawieokreśleniarelacjiR1dajeb1Sb2ib2Sb3,czyli
b1Sb3zprzechodniościrelacjiS.Topokazuje,żexR1z.
Powyższeprzypadkidowodzą,żerelacjaR1jestprzechodnia.
Pozostajedowykazaniawarunekspójności.Niechxjg∈X1.SkoroRjestspójna,toa1Ra2lub
a2Ra1.WtychsytuacjachxR1glubgR1x.Przyjmijmyteraz,żea11a2,tj.∼a1Ra2.Wtedy
b1Sb2lubb2Sb1lubb11b2,boSjestspójna,astądwynika,żexR1glubgR1xlubg1x.
Przykład3.14JeżeliwPrzykładzie3.13jakoRrozpatrzymyrelacjęmniejszości<wzbiorzeQ,
jakorelacjęSprzyjmiemyrelacjęniemniejszości<iliczbęr1√p,gdziepjestliczbąpierwszą,
tozbiór
X11{a+b√p:ajb∈Q}
jestliniowouporządkowanyprzezrelację:
xR1g⇐⇒a1<a2∨[a11a2∧b1<b2]j
gdziex1a1+b1√p,g1a2+b2√p.
3.3
Zadania
Zadanie3.1NiechX1Y1{ajbjcjd}.Danesąrelacje:
R11{(aja)j(ajc)j(bjd)}j
R21{(bjb)j(cjc)j(ajd)j(djb)}.
WyznaczyćR1∩R2jR1UR2j−R1j−R2jR
11
1jR
11
2jR1◦R2jR2◦R1jR1◦(−R2).
45
