Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
coimplikuje,że(gjx)∈R.Widzimy,żeRjestsymetrycznaazatemniemożebyćantysyme-
tryczna.
Zbadajmyteraz,czyRjestsłabosymetryczna.Niech
x11+√7j
g11−√7.
Wtedyx−g12√7∈Xj
g−x1−2√7∈X,skądwynika,że(xjg)∈Rj(gjx)∈R,ale
nieprawdąjest,żex1g.Pokazaliśmy,żewłasność(4)zDefinicji3.7nieprzysługujetejrelacji.
Wykażemy,żeralcjajestprzechodnia.Przyjmujemy,że(xjg)∈Roraz(gjz)∈R,cooznacza,
że
x−g1a1+b1√7j
g−z1a2+b2√7j
a1ja2jb1jb2∈Z
azatem:
x−z1(x−g)+(g−z)1(a1+b1)
\
\f
/
+(b1+b2)
\\f/
√7∈X.
∈Z
∈Z
Stąd(xjz)∈R,cobyłodouzasadnienia.
Nato,żepodanarelacjaniejestspójnawystarczywziąćpoduwagęelementyx11j
dlaktórych(xjg)/
∈Rjx/1gj(gjx)/
∈R.
g11
2j
Przykład3.9Wyznaczyćklasyabstrakcji[
1
2]
Rj[1+√7]Rzewzględunarelacjęzpoprzedniego
przykładu.
Rozwiązanie
Mamy:
[
1
2]
R
1{g∈R:(
1
2
jg)∈R}1{g∈R:g−
1
2
1a+b√7∧ajb∈Z}1
1{g1a+
1
2
+b√7:ajb∈Z}
[1+√7]
R
1{g∈R:(1+√7jg)∈R}1{g∈R:g−1−√71a+b√7∧ajb∈Z}
1{g1(a+1)+(b+1)√7:ajb∈Z}1X
Definicja3.10RelacjęR⊂XXXnazywamyquasi-porządkującązbiórX,gdyjestzwrotna
iprzechodnia.
Definicja3.11RelacjęR⊂XXXnazywamyrelacjączęściowegoporządkuwX,gdyjest
zwrotna,asymetrycznaiprzechodnia.
Definicja3.12RelacjęR⊂XXXnazywamyrelacjąliniowegoporządkuwX,gdyjestzwrotna,
asymetryczna,przechodniaispójna.
Pomiędzyrelacjamiquasi-porządkującymi,częściowoporządkującymiiliniowoporządkują-
cyminiepustyzbiórXzachodzązależności:
liniowyporządek1⇒częściowyporządek1⇒quasi-porządek
Przykład3.10WzbiorzeZ\{0}określamyrelacjęR:kRl⇐⇒(l|k∧k|l).
Takzdefiniowanarelacjajestrelacjąquasi-porządkującązbiórZ\{0}.OczywiściekRk,ponieważ
k|k,czyliRjestzwrotna.JeślikRlilRm,tozfaktu,żek|lil|mwynika,żek|morazzfaktu,że
l|kim|lwynika,żem|k,coimplikuje,żekRm,czylirelacjajestprzechodnia.Niejesttojednak
relacjaasymetryczna,gdyżelementyk12jl1−2sązesobąwrelacji,alek/1l.
44
