Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Twierdzenie3.2JeżeliRjestrelacjąrównoważnościwniepustymzbioreX,todladowolnych
elementówxjgspełnionyjestwarunek:
[x]1[g]∨[x]∩[g]1∅j
tj.klasyabstrakcjisąalbotakiesamealborozłączne.Ponadto[x]1[g]wtedyitylkowtedy,gdy
(xjg)∈R.
Poniżejpodajemysformułowanietwierdzeniaoabstrakcjilubtzw.zasadyabstrakcji,którą
możnanaprzykładzastosowaćdokonstrukcjizbioruliczbcałkowitych.
Twierdzenie3.3(twierdzenieoabstrakcji)
1.JeżeliRjestrelacjąrównoważnościwniepustymzbioreX,towyznaczapodziałzbioruX
naniepusteirozłączneklasyabstrakcji
[x]1[g]∨[x]∩[g]1∅j
tj.klasyabstrakcjisąalbotakiesamealborozłączne.
2.JeżelidanyjestpodziałniepustegozbioruX,tojestwyznaczonaprzeztenpodziałrelacja
równoważności,którejklasamiabstrakcjisądokładniezbiorytegopodziału.
Przykład3.6Uzasadnić,żejeżelirelacjeR1jR2sązwrotne,torelacjaR1◦R2teżjestzwrotna.
Rozwiązanie
NiechR1jR2będązwrotne.Niechx∈X.Wówczas(xjx)∈R1i(xjx)∈R2jastąd(przyj-
mującg1xwdefinicjizłożenia)(xjx)∈R1◦R2.
Przykład3.7Udowodnić,żejeżelirelacjeR1jR2sąsymetryczneiR1◦R21R2◦R1,torelacja
R1◦R2teżjestsymetryczna.
Rozwiązanie
Załóżmyteraz,żeR1jR2sąsymetryczneiwybierzmy(xjz)∈R1◦R2.Istniejeg∈Xtakie,
że(xjg)∈R1i(gjz)∈R2janapodstawiezałożenia(gjx)∈R1i(zjg)∈R2jazatem
(zjx)∈R2◦R1.PonieważR1◦R21R2◦R1jto(zjx)∈R1◦R2,cokończydowód.
Przykład3.8NiechX1{a+b√7:ajb∈Z}.Zbadać,jakiewłasnościmarelacjaR⊂RXR
określonanastępująco
xRg⇐⇒x−g∈X.
Rozwiązanie
Jeżelix∈X,to
x−x1010+0·√7∈Xj
czyliRjestzwrotna.Skororelacjajestzwrotna,toniejestprzeciwzwrotna,czyliniespełnia
własności(2)wDefinicji3.7.
Zbadamywaruneksymetrii.Niechxjg∈X,(xjg)∈R,tj.
x−g1a+b√7j
ajb∈Z.
Wówczas:
g−x1(−a)+(−b)√7j
43
