Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Przykład3.3ObierzmyX1Y1Z1{a1ja2ja3ja4}.DefiniujemyrelacjeR1jR2:
R11{(a1ja1)j(a2ja2)j(a3ja3)j(a4ja4)j(a2ja3)j(a2ja4)j(a3ja2)j(a3ja4)j(a4ja2)j(a4ja3)}j
R21{(a1ja1)j(a2ja2)j(a4ja4)j(a1ja3)j(a3ja1)}.
Wówczas:
R
11
1
1{(a1ja1)j(a2ja2)j(a3ja3)j(a4ja4)j(a3ja2)j(a4ja2)j(a2ja3)j(a4ja3)j(a2ja4)j(a3ja4)}
R
11
2
1{(a1ja1)j(a2ja2)j(a4ja4)j(a3ja1)j(a1ja3)}
R1◦R21{(a1ja1)j(a2ja2)j(a3ja3)j(a4ja4)j(a2ja4)j(a3ja2)j(a3ja4)j(a4ja2)}
R2◦R11{(a1ja1)j(a2ja2)j(a4ja4)j(a1ja3)j(a3ja1)}
Przykład3.4NiechX1Y1Z1Roraz
(xjg)∈R1⇐⇒|x|<2∧|g|<1j
(xjg)∈R2⇐⇒1<x<3∧|g|>1.
WyznaczymyR1◦R2,R2◦R1.
Rozwiązanie
Jeśli(xjz)∈R1◦R2,toistniejeg∈Rtakie,że(xjg)∈R1i(gjz)∈R2,coimplikuje|x|<2
i|g|<1oraz1<g<3i|z|>1.Wystarczyterazobraćg11iotrzymujemy
R1◦R21{(xjz):|x|<2∧|z|>1}.
Analogiczniemożnauzasadnić,że
R2◦R11{(xjz):|x|>1∧|z|<2}.
Twierdzenie3.1Dladowolnychrelacjidwuargumentowychzachodząrówności:
1.R∩R1RUR1R
3.(R1UR2)111R11
5.(R1\R2)111R11
7.R1◦(R2◦R3)1(R1◦R2)◦R3
1
1
\R
UR
11
2
11
2
2.(R11)111R
4.(R1∩R2)111R11
6.−R111(−R)11
8.(R1◦R2)111R11
2
1
◦R
∩R
11
1
11
2
9.(R1UR2)◦S1(R1US)◦(R2US)
10.R◦(S1US2)1(R◦S1)U(R◦S2)
Pokażemydlaprzykładu,żespełnionesąwłasności(5)j(6)i(8).
Własność(5)Mamy:
(gjx)∈(R1\R2)
11⇐⇒(xjg)∈R1\R2⇐⇒(xjg)∈R1∧(xjg)/
∈R2
⇐⇒(gjx)∈R
11
1
∧(gjx)/
∈R
11
2
⇐⇒(gjx)∈R
11
1
\R
11
2
Własność(6)Tezawynikaznastępującegorozumowania:
(gjx)∈−(R)11⇐⇒(gjx)/
∈R11⇐⇒(xjg)/
∈R
⇐⇒(xjg)∈−R⇐⇒(gjx)∈(−R)11.
Własność(8)Wybierzmyelement(zjx)∈(R1◦R2)11,skąd(xjz)∈R1◦R2.Wobectego
istniejeg∈Ytakie,że(xjg)∈R1oraz(gjz)∈R2,coimplikuje:(gjx)∈R
Stąd(zjx)∈R
11
2
◦R
11
1.Pokazaliśmyinkluzę
11
1
i(zjg)∈R
11
2.
(R1◦R2)
11⊂R11
2
◦R
11
1
(3.1)
41
