Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Przykład2.9NiechXbędziezbiorem.Uzasadnić,żejeśli{An:n∈N+}jestwstępującąro-
dzinązbiorów,to
n=1
U
∞
An1A1U
n=1
U
∞
(An+1\An).
Roziązanie:
Zauważmy,żeA1⊂A1orazAn+1\An⊂An+1dlakażdegon∈N+,czylinapodstawie
poprzedniegoprzykładumamy
A1U
n=1
U
∞
(An+1\An)⊂
n=1
U
∞
An.
Ponadtozauważmy,żedlanjm,gdzien>m,możemyzapisać
(2.1)
(An+1\An)∩(Am+1\Am)1(An+1∩A
I
n)∩(Am+1∩A
I
m)1(An+1∩Am+1)∩(A
I
n∩A
I
m)
(zał.)
1Am+1∩A
I
n1Am+1\An
(zał.)
1∅j
czylizbioryAm+1\AmiAn+1\Ansąparamirozłączneoraz
A1∩(An+1\An)1∅j
n∈N+.
∞
Niechterazx∈
U
An.Istniejewtedynajmniejszaliczbanaturalnan0taka,żex∈An
0.Jeśli
n=1
n011,towtedy
x∈A1U
n=1
U
∞
(An+1\An)j
ajeślin0>1,tox∈An
0\An
011.Wrezultacierównieżwtymprzypadku
x∈A1U
n=1
U
∞
(An+1\An).
Wykazaliśmy,żezachodziinkluzja:
n=1
U
∞
An⊂A1U
n=1
U
∞
(An+1\An).
Napodstawie(2.1)i(2.2)otrzymujemyżądanąrówność.
2.3
Zadania
(2.2)
Zadanie2.1Wypisaćelementypodanychzbiorów,traktowanychjakopodzbiorywprzestrzeni
R.Któreztychzbiorówsąskończoneaktórenieskończone?
1.A-zbiórliczbpierwszych,którychkwadratjestmniejszyod130;
2.B-zbiórliczbcałkowitych,któreprzydzieleniuprzez8dająresztę2;
3.C-zbiórsześcianówliczbparzystych;
4.D1{x∈Z:|5x−1|<3};
29
