Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Definicja2.8Paręuporządkowaną(ajb)określamy(zgodniezdefinicjązaproponowanąprzez
K.Kuratowskiego):
(ajb)1{{a}j{ajb}}.
Definicja2.9NiechXjYbędązbioramiorazA⊂XiB⊂Y.Iloczynemkartezjańskiem
zbiorówAiBnazywamyzbiórzłożonyzuporządkowanychpar(ajb)takich,żea∈Aoraz
b∈B.IloczynkartezjańskizbiorówoznaczamysymbolicznieAXB.
Możemyzdafiniowaćpojęcieiloczynukartezjańskiegodowolnejskończonejilościzbiorów
A1,A2,...,Anjakozbiór:
n
A1XA2X...XAn1
Π
Ai1{(x1jx2j...jxn):x1∈A1∧x2∈A2∧...∧xn∈An}.
i=1
Wszczególności,gdyA11A21...1An1R,tootrzymujemyn-wymiarowąprzestrzeń
rzeczywistą,którąoznaczamyRn.Zatem
Rn1{(x1jx2j...jxn):xi∈R∧ź∈{1j2j...jn}}
oraz
R21RXR1{(xjg):xjg∈R}
R31RXRXR1{(xjgjz):xjgjz∈R}
płaszczyzna
przestrzeńtrójwymiarowa
NapodstawiedefinicjidlazbioruA⊂XiB⊂Yspełnionesąrówności:
AX∅1∅1∅XB
IloczynkartezjańskizbiorówA⊂X,B⊂Yniejestnaogółdziałaniemprzemiennym,tzn.
generalnieniejestspełnionarównośćAXB1BXA.Poniższyprzykładjestuzasadnieniemtej
uwagi.
Przykład2.3NiechX1Y1RjA1ZjB1[0j1].WyznaczymyzbioryAXBjBXA.
Rozwiązanie
Napodstawiedefinicjimożemynapisać:
AXB1{(xjg):x∈Z∧g∈[0j1]}1{(xjg):x∈Z∧0<g<1}
BXA1{(xjg):x∈[0j1]∧g∈Z}1{(xjg):0<x<1∧g∈Z}
Widzimy,że(1j
1
2)∈AXB,ale(1j
1
2)/
∈BXA,czyliAXB/1BXA.ZbioryAXBiBXA
dobrzejestnarysowaćwpłaszczyźnieRXR.
Twierdzenie2.2JeżeliAjB⊂XjCjD⊂YorazA⊂BiC⊂DtoAXC⊂BXD.
Powyższyfaktwynikazrozumowania:
(xjg)∈AXC⇐⇒x∈A∧g∈B
(zał.)
1⇒x∈B∧g∈C⇐⇒(xjg)∈CXD
Zdowolnościwyborupary(xjg)wynikateza.
Podobnieuzasadniamyponiżejwybraneprawadlailoczynukartezjańskiegozbiorów,pamię-
tającoprawachrachunkuzdańpodanychwTwierdzeniu1.2.
25
