Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Przykład2.1NiechX1RorazA1NjB1[−1j3).Wyznaczymyzbiory:A∩B,AUB,A\B,
B\A,A∆B,A!,B!.Mamy:
A∩B1{0j1j2}
AUB1[−1j3]U{4j5j6j...}
A\B1{3j4j5j6j...}
B\A1[−1j0)U(0j1)U(1j2)U(2j3)
A∆B1[−1j0)U(0j1)U(1j2)U(2j3]U{4j5j6j...}
A
!1(−∞j0)U(0j1)U(1j2)U(2j3)U...
B
!1(−∞j−1)U[3j+∞)
Twierdzenie2.1NiechXbędzieprzestrzeniąorazAjBjCdowolnymipodzbioramitejprze-
strzeni.Wówczasspełnionesąnastępującewłasności:
1.
A⊂A
2.
A∩B⊂A
3.
A∩B⊂B
4.
A⊂AUB
5.
B⊂AUB
6.
prawoprzemiennościiloczynu
A∩B1B∩A
7.
prawoprzemiennościsumy
AUB1BUA
10.
11.
8.
9.
prawołącznościiloczynu
prawołącznościsumy
prawołącznościróżnicysymetrycznej
prawoprzemiennościróżnicysymetrycznej
A∆B1B∆A
A∩(B∩C)1(A∩B)∩C
AU(BUC)1(AUB)UC
A∆(B∆C)1(A∆B)∆C
12.
praworozdzielnościiloczynuwzględemsumy
A∩(BUC)1(A∩B)U(A∩C)
13.
praworozdzielnościsumywzględemiloczynu
AU(B∩C)1(AUB)∩(AUC)
14.
prawodeMorgana(dopełnienieiloczynuzbiorów)
(A∩B)!1A!UB!
15.
prawodeMorgana(dopełnieniesumyzbiorów)
(AUB)!1A!∩B!
16.
A\(BUC)1(A\B)∩(A\C)
17.
A\(B∩C)1(A\B)U(A\C)
18.
(A∩B)\C1A∩(B\C)
19.
A\B1A∩B!
20.
A∆B1(AUB)\(A∩B).
Dlaprzykładupokażemydwasposobydowodzeniaprawrachunkuzbiorów:wpierwszymbędzie-
myodwoływaćsiędoprawrachunkuzdańpodanychwTwierdzeniu1.2,wdrugimwykażemy,że
schematjestprawemrachunkuzbiorówodwołującsiędoprawzbiorów,którewcześniejzostały
jużudowodnione.Pokażemy,żespełnionesąprawa(12)(pierwszysposób)i(20)(drugisposób).
Wybierzmydowolnyx∈X.Wówczas:
x∈A∩(BUC)⇐⇒x∈A∧x∈BUC⇐⇒x∈A∧(x∈B∨x∈C)
Tw.1.2,(10)
⇐⇒
(x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C)⇐⇒x∈(A∩B)∨x∈(A∩C)⇐⇒x∈(A∩B)U(A∩C)
Wykazaliśmy
∀x[x∈A∩(BUC)⇐⇒x∈(A∩B)U(A∩C)]j
skądwynikażądanarówność(12).
23
