Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
p
1
0
1
1
1
0
0
0
q
1
1
0
1
0
1
0
0
r
1
1
1
0
0
0
1
0
p∨q
0
1
1
0
1
1
0
0
(p∨q)∨r
1
0
0
0
1
1
1
0
q∨r
0
0
1
1
0
1
1
0
p∨(q∨r)
1
0
0
0
1
1
1
0
(p∨q)∨r⇐⇒p∨(q∨r)
1
1
1
1
1
1
1
1
Sposób2Pokażemyterazinnąmetodędowodzenia,żeschematjestprawemrachunkuzdań.
Wykażemy,żekażdyzeschematów
(p∨q)∨r1⇒p∨(q∨r)
i
p∨(q∨r)1⇒(p∨q)∨r.
(1.1)
(1.2)
jestprawemrachunkuzdań.Uzasadnimyjedynie,żewyrażenie(1.1)jesttautologią,ponieważ
wprzypadkudowodu,żewyrażenie(1.2)teżjesttautologią,postępujemypodobniejakprzy(1.1).
Abytoudowodnić,toprzypuśćmy,żerozpatrywanyschemat(1.1)niejesttautologią,tzn.że
istniejetakiewartościowanie,przyktórym
w((p∨q)∨r1⇒p∨(q∨r))10j
skądwynika,że
w(p∨q)∨r)11
oraz
w(p∨(q∨r))10
(1.3)
(1.4)
Napodstawie(1.3)wnioskujemy,żew(p∨q)11iw(r)10lubw(p∨q)10iw(r)11.Jeśli
w(p∨q)11,tow(p)10iw(q)11lubw(p)11iw(q)10.Uzyskujemyzatemdwiemożliwości:
jeżeliw(p)10jw(q)11jw(r)10jtow(q∨r)11,azatemw(p∨(q∨r))11,coprowadzido
sprzecznościz(1.4);jeżeliw(p)11jw(q)10jw(r)10,tow(q∨r)10,czyliw(p∨(q∨r))11,co
takżeprowadzidosprzecznościz(1.4).Rozpatrzmydrugiprzypadek,tj.w(p∨q)10iw(r)11,
napodstawiektóregowynikająsytuacje:w(p)11jw(q)11jw(r)11lubw(p)10jw(q)1
0jw(r)11.Teraz,jeśliw(p)11jw(q)11jw(r)11,tow(q∨r)10,skądw(p∨(q∨r))11,co
dajesprzecznośćz(1.4).Wostatniejsytuacji,gdyw(p)10jw(q)10jw(r)11,tow(q∨r)11,
skądw(p∨(q∨r))11iuzyskujemysprzecznośćz(1.4).Napodstawietegownioskujemy,że
przypuszczeniedoprowadziłonasdosprzeczności,cowkonsekwencjioznacza,żerozpatrywany
schematjestprawemrachunkuzdań.
Przykład1.2Udowodnimy,żeschemat(19)podanywTwierdzeniu1.2jesttautologią,copo-
każemytrzecimsposobem.Zapis01
⇐⇒02,gdzie01j02sąjakimiśwyrażeniamizbudowanymi
(nr)
zezdańprostych,będzieoznaczać,żepowołujemysięwdanymkrokunawłasnośćsformułowaną
wTwierdzeniu1.2.Mamy:
p∨q
⇐⇒∼(p⇐⇒q)
(18)
⇐⇒∼[(p1⇒q)∧(q1⇒p)]
(17)
⇐⇒
(11)
∼(p1⇒q)∨∼(q1⇒p)
⇐⇒(p∧∼q)∨(q∧∼p)
(16)
⇐⇒(p∧∼q)∨(∼p∧q)
(1)
.
11
