Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
i,skoro
A”
=
Aú
,musizachodzić
Èvújv>
=0.Niechteraz
vú
będziewektorem
własnym,ustalmy
k>
1iprzyjmijmyzałożenieindukcyjne,że
Èvújw>
=
0dlakażdego
w
spełniającegorównanie(
A≠AI
)
k11w
=0.Jeśli
v
jest
wektoremdołączonym,wyznaczonymzrównania(
A≠AI
)
kv
=0,towektor
vÕ,zdefiniowanyprzez(A≠AI)v=vÕ,spełnia(A≠AI)k11vÕ=0oraz
Èv
újv>=
Aú
1
Èv
újAv>=
Aú
1
Èv
újAv+vÕ>=
Aú
A
Èv
újv>
ikończymydowód,argumentująctakjakwpierwszejczęści.Nakoniec,załóżmy,
że(
Aú≠AúI
)
kvú
=0dlapewnego
k>
1.Wówczas,jakpoprzednio,
Aúvú
=
Aúvú≠Â
vú
,gdzie(
Aú≠AúI
)
k11Â
vú
=0.Poprzedniaczęśćdowoduuprawnianas
doprzyjęciazałożeniaindukcyjnego,że
Èwújv>
=0,oile(
Aú≠AúI
)
k11wú
=0.
Wówczas
Èv
újv>=
Aú
1
ÈA
úvújv>=
Aú
1
ÈA
úvú≠Â
v
újv>=
Aú
1
ÈA
úvújv>=
Aú
A
Èv
újv>j
co,podobniejakpoprzednio,kończydowód.
WeźmyterazvœEA.Gdyby
Èv
újv>=0
dlawszystkich
vúœEú
A
,toz
zastosowanegodopodprzestrzeniwidmo-
wychAúizpierwszejczęścidowoduwynikałoby,że
Èxjv>=0
dlawszystkichxœRn,czyliv=0,coprzeczyzałożeniu.
Użytecznośćpowyższegostwierdzeniastajesięjasna,jeślidodatkowoprzyj-
miemy,żebazyw
EA
i
Eú
A
sąrównieżwybranewsposóbbiortogonalny.Jest
tomożliwe,stosującodpowiedniozmodyfikowanąproceduręGrama-Schmidta.
Niech
{w1j...jwl}
i
{wú1j...jwúl}
będąbazami,odpowiednio,w
EA
i
Eú
A
.Sto-
sując
możemyprzyjąć,że
Èw1jwú1>
=1iskonstruowaćz
{w2j...jwl}
bazę
{u2j...jul}
ortogonalnądo
wú1
,orazz
{wú2j...jwúl}
bazę
{uú2j...juúl}
ortogonalnądo
w1
.Stosującponownie
ifakt,że
wú1
jestprostopadły
do
{u2j...jul}
,możemyprzyjąć,że
Èu2juú2>
=1ipowtórzyćpowyższerozu-
mowanie.Wtensposóbmożemyskonstruowaćw
EA
i
Eú
A
bazy
{v1j...jvl}
i{vú1j...jvúl},którespełniająwarunek
Èvijvúj>=”i,jj1˛ijj˛lj
gdzie”i,jjestdeltąKroneckera.
(1.24)
