Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Rozdział1.Wybranefaktyzanalizyialgebryliniowej
1.2.2.Wartościiwektorywłasnemacierzy
Niech
A
będziemacierząwymiaru
n◊n
.Liczbę
A
nazywamywartościąwłasną
macierzy
A
,jeśliistniejeniezerowywektor
vœRn
,zwanywektoremwłasnym
A,spełniającyrównanie
Av=Av.
(1.14)
Zbiórwartościwłasnych
A
nazywamywidmem
A
ioznaczamy
‡
(
A
).
Wanalizieukładówdynamicznychistotnymicharakterystykamiwidmasą
promieńspektralny
fl(A)=max
Aœ‡(A)
|A|
imodułstabilności(kresspektralny)
s(A)=max
Aœ‡(A)
ŸAj
(1.15)
(1.16)
gdzie
ŸA
oznaczaczęśćrzeczywistą
A
dowijednorodnemu
(A≠AI)v=0.
ZatemAjestwartościąwłasnąAwtedyitylkowtedy,gdy
det(A≠AI)=
-
-
-
-
-
-
-
a11≠A...
an1
.
.
...ann≠A
-
-
a1n
.
.
.
-
-
-
-
-
=0.
.
Obliczającpowyższywyznacznik,otrzymujemywielomianzmiennej
A
stop-
nia
n
,zwanywielomianemcharakterystycznym.Wartościwłasnesązatem
zespolonymipierwiastkamiwielomianucharakterystycznego.
Oznaczmytenwielomianprzez
p
(
A
).Zzasadniczegotwierdzeniaalgebry
wielomiantenmadokładnie
n
pierwiastków,któremogąbyćrzeczywistelub
zespolone,imogąsiępowtarzać.Wielomianp(A)możnazatemzapisaćjako
p(A)=(A1≠A)n1·...·(Ak≠A)nkj
(1.17)
gdzie
n1
+
...
+
nk
=
n
.Ponadto,ponieważrozważamymacierzerzeczywiste,
pierwiastkizespolonepojawiająsięwyłączniewpostaciparsprzężonych,to
znaczyjeśli
Aj
=
Oj
+
i;j
jestpierwiastkiem
p
(
A
),topierwiastkiemjestrównież
Aj=Oj≠i;j.
Wykładnik
ni
algebraicznąwartościwłasnej
Ai
.Każdejwartościwłasnejodpowiadaprzynaj-
mniejjedenwektorwłasny.Łatwoudowodnićprzezindukcję,żewektorywłasne
