Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Macierze
15
Niech
B
(0
jT
)
µC
będziekołemośrodkuw0ipromieniu
T
.Rozważmy
funkcjęanalityczną
f
:
B
(0
jT
)
æC
zdefiniowanązapomocąszeregupotęgo-
wego
f(z)=
nlo
ÿ
Œ
anz
nj
(1.10)
gdzie(
an
)
nˇo
jestciągiemliczbzespolonych,zbieżnymdogranicyw
B
(0
jT
),to
znaczypowyższyszeregjestzbieżnyjednostajniewkażdymkoledomkniętym
B(0jTo),To<T.Z[44,Twierdzenie1,RozdziałVIII]wiemy,że
T=
limsup
næŒ
1
d|an|
n
j
znaturalnąinterpretacjątegowzoru,gdymianownikjestrównyzerubądź
nieskończoności.
Zastępującw
zmienną
z
macierzą
A
,możemyrozważaćfunkcjędaną
zapomocąszeregu
f(A)=
nlo
ÿ
Œ
anA
nj
(1.11)
który,napodstawie[
,Twierdzenie7,RozdziałII],jestzbieżnybezwzględnie,
gdy
ÎAÎ<T.
PonieważprzestrzeńmacierzyjestskończeniewymiarowąprzestrzeniąBanacha,
szereg(1.11)jestzbieżnyijegosumajestteżmacierzą.
Szczególnąrolęwnaszychrozważaniachodgrywafunkcjawykładnicza
macierzyA,zdefiniowanawzorem
eA=I+A+
1
2
A
2+
3!
1
A
3+...+
k!
1
Ak+...j
gdzie
I
oznaczamacierzjednostkową.Napodstawie[
,Twierdzenie15,
RozdziałII]iloczynszeregów
eAeB
wyrażasięszeregiemzwanymiloczynem
Cauchy’egoszeregów,przyczymznanywprzypadkuskalarnymwzór
eA+B=eAeB
(1.12)
zachodzi,jeślimacierze
A
i
B
sąprzemienne,czyli
AB
=
BA
.Ponieważ
oczywiścieAoraz≠Asąprzemienne,więcmamy
1eA)
11
=e1Aj
gdziewykorzystaliśmywzóre0=I.
(1.13)