Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Macierze
17
odpowiadająceróżnymwartościomwłasnymsąliniowoniezależne.Istotnie,
stwierdzeniejestoczywistedladwóchwektorówwłasnych,gdyżwektorwłasny
pomnożonyprzezskalarpozostajewektoremwłasnymodpowiadającymtej
samejwartościwłasnej.Jeślimielibyśmy
vik=c1vi1+···ck11vik≠1
(1.18)
dlapewnegowyboruwektorówwłasnychistałych,tomnożącobiestrony
przezA,otrzymujemy
Ai
kvik=Ai
1c1v
i1+···Ai
k≠1ck11v
ik≠1.
(1.19)
Jeśli
Ai
k
=0,towartościwłasnepoprawejstroniesąniezerowei
{vi1j...jvik≠1}
jestliniowozależny.Jeśli
Ai
k”
=0,todzieląc
przez
Ai
k
iodejmującod
(1.18),otrzymujemy
0=(1≠Ai
1A
11
ik)c1v
i1+···(1≠Ai
k≠1A
11
ik)ck11v
ik≠1.
Ponownie,wobeczałożenia,żewartościwłasnesąróżne,dostajemy,że
{vi1j...jvik≠1}jestliniowozależny.Zastosowanieindukcjidowodzitezy.
Możesięzdarzyć,żedanejwartościwłasnej
Ai
odpowiadakilkawektorów
własnych.Oczywiściedowolnakombinacjaliniowatychwektorówjestponownie
wektoremwłasnym,zatemmasensrozważaniepowłokiliniowejtychwektorów
własnych,zwanąpodprzestrzeniąwłasnąodpowiadającą
Ai
,którąoznaczamy
przezÂ
EA
i,
EA
Â
i=Lin{vi:vijestwektoremwłasnymodpowiadającymAi}.
Krotnościągeometryczną
Ai
nazywamywymiar
EA
Â
i
.Krotnościgeometryczne
ialgebraicznenaogółsąróżne,przyczymkrotnośćgeometrycznanieprzekracza
krotnościalgebraicznej.Wszczególnościjeśli
Ai
jestpojedynczympierwiast-
kiem
p
(
A
),toodpowiadającajejpodprzestrzeńwłasnajestjednowymiarowa.
Wówczasmówimy,żejesttoprostawartośćwłasna.
Jeślikrotnościalgebraiczneigeometrycznewartościwłasnychniesąrówne,
towektorywłasneuzupełniamyowektory,które„zachowująsiępodobnie”do
wektorówwłasnychwsposóbpożądanyprzezkonkretnezastosowania.Poniżej
opiszemyjednąztakichprocedur,szczególnieprzydatnąwteoriirównań
różniczkowychiróżnicowych,któranieodwołujesięwsposóbbezpośrednido
Załóżmyzatem,że
Ai
jestwartościąwłasnąokrotnościalgebraicznej
ni
irównanienawektorywłasne
(A≠AiI)v=0
(1.20)
