Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Macierze
19
ziloczynemskalarnymzdefiniowanymw
.Alternatywnie,jeśli
A
=
(
aij
)
1˛i,j˛n
,to
Aú
=(
aji
)
1˛i,j˛n
.Zwłasnościwyznacznikawynika,żemacierze
temajątesamewartościwłasne,alewektorywłasneidołączonewektorywła-
snesąróżne(chybaże
A
jestmacierząsymetryczną).Ponadto,ponieważrzędy
macierzy
A
i
Aú
sąsobierówne,struktura,wtymwymiary,odpowiednich
przestrzeniwidmowychjesttakasama.Wszczególnościkrotnośćgeometryczna
wartościwłasnej
A
jesttakasamadla
A
i
Aú
iliczbyrozwiązańrównań
(A≠AI)‹v=0i(Aú≠AI)‹vú=0sątakiesame.
Uwaga1.2.Wektoryidołączonewektorywłasnemacierzy
A
i
Aú
często
nazywasięodpowiednioprawymiilewymiwektoramiidołączonymiwektorami
własnymimacierzyA.Wynikatozfaktu,żerozwiązaniarównania
A
úv=Av
sątożsamezrozwiązaniami
vA=Avj
gdzie,formalnie,wpierwszymrównaniu
v
jesttraktowanyjakowektorkolum-
nowy,wdrugimzaśjakowierszowy.
Zachodzinastępującetwierdzenieobazachbiortogonalnych,uogólniające
twierdzenieoprostopadłychwektorachwłasnychmacierzysymetrycznych.
Twierdzenie1.1.Niech
EA
i
Eú
Aú
będ!przestrzeniamiwidmowymimacierzy
A
i
Aú
odpowiadaj!cymiróżnymwartościomwłasnym,
A”
=
Aú
.Jeśli
vúœEú
Aú
ivœEA,to
Èv
újv>=0.
Jeśli0”=vœEA,toistniejetakiwektorvúœEú
A,że
Èv
újv>”=0.
(1.23)
Dowód.
Możemyzałożyć,że
Aú”
=0,gdyżwprzeciwnymwypadku
A”
=0
iponiższerachunkimożnapowtórzyć,wykorzystując
A
zamiast
Aú
.Zacznijmy
odprzypadku,gdyzarówno
vœEAj
jaki
vúœEú
Aú
sąwektoramiwłasnymi.
Wówczas
Èv
újv>=
Aú
1
ÈA
úvújv>=
Aú
1
Èv
újAv>=
Aú
A
Èv
újv>.
Zatem
3
Aú
A
≠1)Èvújv>=0
