Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Macierze
Powyższaobserwacjaoznacza,żeistniejąbazybiortogonalne
21
B={v1
A1j...jv
A1j...jv
n1
1
Akj...jv
Ak}j
nk
B
ú={vú1
A1j...jv
A1j...jv
ún1
Akj...jv
ú1
Ak}
únk
przestrzeni
Rn
złożonezwektorówidołączonychwektorówwłasnych.Wynika
ztegotzw.rozkładwidmowy,czylimożliwośćprzedstawieniadowolnego
xœRn
wpostaci
x=
Èvú1
Èvú1
A1jv1
A1jx>
A1>
v
1
A1+···+
Èv
Èv
Akjv
únk
Akjx>
únk
Ak>
nk
v
Ak
nk
(1.25)
lub,jeślibazysąbiortonormalne,czylispełniająwarunek(1.24),
x=Èvú1
A1jx>v
A1+···+Èv
1
únk
Akjx>v
Ak.
nk
(1.26)
Widzimy,żejeśliwszystkieelementybazy
B
sąwektoramiwłasnymi,tomówimy,
żemacierzAjestdiagonalizowalnaimożnajązapisaćwpostaci
Ax=A1Èv
ú
A1jx>vA
1+···+AnÈv
Anjx>vA
ú
n.
(1.27)
Jeślipojawiająsięwektorydołączone,topowyższyrozkładmacierzy
A
siękom-
plikuje.Reprezentacja
pozwalajednaknastosunkowoprosteobliczanie
pewnychfunkcjiA(patrz(3.19)).
Uwaga1.3.Rozkładwidmowymożnazapisaćwinnysposób,zapomocą
rzutowańwidmowych,któryniewymagawyznaczaniawektorówwłasnych
macierzytransponowanej.Załóżmy,żemamy
n
liniowoniezależnychwektorów
własnychidołączonychwektorówwłasnych{v1j...jvn}.Wówczasmacierz
V=
Q
c
a
v1
|
|
...
...vn
...
|
|
R
d
b
j
którejkolumnamisąwektoryvi,jestodwracalna.Jeśli
x=c1v
1+...+cnvn=Vcj
gdziewprowadziliśmyoznaczeniec=(c1j...jcn),tomacierze
Pi=
Q
c
0
0
...
...vi
|
...
...
0
0
R
d
V
11j
a
0
...
|
...
0
b
1˛i˛n,spełniająrówność
Pix=civij
(1.28)
(1.29)