Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Macierze
23
Przykład1.2.
Ważnymprzykłademmacierzydiagonalizowalnychsąmacierze
normalne,czylimacierzespełniającewarunek
AA
ú=AúA.
A
jestdiago-
nalizowalnazapomocąmacierzy
V
,zdefiniowanejw
,składającejsię
zprostopadłychiunormowanychwektorówwłasnychA,czyli
V
11AV=VúAV=Dj
(1.34)
gdzie
D
jestmacierządiagonalnązwartościamiwłasnymi
A
wkolejności
odpowiadającejkolejnościnależącychdonichwektorówwłasnychw
V
na
głównejprzekątnej,wtedyitylkowtedy,gdy
A
jestnormalna.Oczywiście
znaczniesięupraszcza,
gdyżnietrzebawprowadzaćbazybiortogonalnej.
Zauważmy,żerzeczywistemacierzesymetryczne,toznaczyspełniające
warunek
aij
=
ajij
1
˛ijj˛nj
sąszczególnymprzypadkiemmacierzynormal-
nych.
1.2.3.Dodatniośćwprzestrzeniachwektorowych
Wwieluzastosowaniachoczekujemy,żerozwiązaniastartująceznieujem-
nychwarunkówpoczątkowychpowinnypozostawaćnieujemne.Przykładowo,
wteoriipopulacjiwspółrzędnewektorarozwiązaniareprezentująliczebności
poszczególnychklaspopulacji,więckażdawspółrzędnapowinnabyćnieujemna.
Powinniśmyzatemzdefiniować,cotoznaczy,żewektor(lubmacierz)sąnie-
ujemne.
Mówimy,żewektor
x
=(
x1j...jxn
)jestnieujemny,izapisujemy
xˇ
0,
jeślidlawszystkich
i
=1
j...jn
zachodzi
xiˇ
0.Wyróżniamydwarodzaje
„dodatniości”wektora:
x>
0,jeśli
xˇ
0i
xi>
0dlaprzynajmniejjednego
wskaźnika
ij
oraz
x∫
0,jeśli
xi>
0dlawszystkich
i
.Wtymdrugimprzypadku
mówimy,że
x
jestściśledodatni.Definiujemy,odpowiednio,
xˇy
,
x>y
i
x∫y
,jeśli
x≠yˇ
0,
x≠y>
0oraz
x≠y∫
0.Podobnie,mówimy,żemacierz
A
=(
aij
)
1˛i,j˛n
jestnieujemna,dodatnialubściśledodatnia,izapisujemy
Aˇ
0(odpowiednio,
A>
0lub
A∫
0),jeśli
aijˇ
0(
aijˇ
0iniewszystkie
sązeramilub
aij>
0)dlawszystkich
ijj
=1
j...jn
.Ponadtooznaczamy
|x|=(|x1|j...j|xn|)i|A|=(|aij|)1˛i,j˛n.
Załóżmy,żeajbœRn.Przedziałemporządkowym[ajb]nazywamyzbiór
{xœRn:a˛x˛b}.
