Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Rachunekróżniczkowyfunkcjiwieluzmiennych
33
1.4.Rachunekróżniczkowyfunkcjiwieluzmiennych
Trudnowprowadzićjednouniwersalneoznaczenienapochodnąfunkcjiidlatego
będziemyużywaćkilku,wzależnościodkontekstu.Wprzypadkufunkcji
skalarnejjednejzmiennejR–x‘æf(x)œRbędziemypisać
f
ÕjfÕÕj...jf(n)j...jlub
dx
df
j
d2f
dx2
j...j
dnf
dxn
j...j
jeślizachodzipotrzebapodkreśleniazmiennejróżniczkowania.Pierwszepo-
chodnecząstkowefunkcjiskalarnejwieluzmiennych
Rn–
(
x1j...jxn
)=
x‘æ
f(x)œRbędziemyoznaczaćprzez
ˆxi
ˆf
jˆx
iflubfx
iji=1j...jn.
Okazyjniebędziemyużywaćanalogicznychoznaczeńdlapochodnychzwyczaj-
nych,jeśliwystępująonewrazzpochodnymicząstkowymi.
WtejsytuacjipochodnawzględemxœRn,
ˆxf=fx=Òxfj
czyligradient
f
,jestwektorem.Jeślidodatkowo
f
mawartościw
Rm
,to
pierwszepochodneoznaczamy
ˆfj
ˆxi
jˆx
ifjlubfj,x
ij1˛i˛nj1˛j˛m.
Wtymprzypadkupochodna
ˆxf=fx=Òxf=Jf
jestmacierzą,zwanąmacierząJacobiego,
Q
c
a
fm,x
f1,x
.
.
1
1
...
...fm,x
f1,x
.
.
.
n
n
R
d
b
.
.
...
Pochodnewyższegorzędusąoperatoramiwieloliniowymi,trudnymido
szegorzęduużywaćbędziemytrochęinnych,skróconychoznaczeń.Najpierw
wprowadzimywielowskaźnikO=(O1j...jOn)œNnizdefiniujemy
|O|=O1+...+Onj
O!=O1!·...·On!j
xO=xO1
1
·...·xOn
nj
xœRn.
